16,17 Функциональная и корреляционная зависимость.

Корреляционная зависимость. Уравнения регрессии

При изучении объектов в биологии и медицине приходится иметь дело с функциональными связями другого рода. При этом определенному значению одного признака соответствует не одно значение другого, а целое распределение значений. Такая связь называется корреляционной связью, или просто корреляцией. Корреляционная связь, например, между возрастом и ростом де­тей выражается в том, что каждому значению возраста соответст­вует определенное распределение роста (а не одно единственное значение). При этом с увеличением возраста (до определенных пределов) возрастает и среднее значение роста.

Количественную характеристику взаимосвязи изучаемых при­знаков можно дать на основании вычисления показателя силы связи между ними (коэффициента корреляции) и определения за­висимости одного признака от изменений другого (уравнения рег­рессии). Коэффициент корреляции определяет не только степень, но и направление связей между величинами. Если отсутствие функциональной зависимости между величинами условно соот­ветствует нулевой корреляции, а полная функциональная зависи­мость — корреляции, равной единице, то сила корреляционной связи, вообще говоря, измеряется промежуточными значениями (от 0 до +1). При этом при положительном коэффициенте корре­ляции с увеличением одной величины возрастает и другая. Если же коэффициент корреляции отрицателен, то возрастание одного параметра сопровождается уменьшением другого. В простом случае при линейной зависимости между исследуе­мыми параметрами используют коэффициент корреляции Бравэ—Пирсона. Рассчитанный коэффициент корреляции срав­нивают с теоретическим, который находят в специальной таблице с учетом определенного уровня значимости и объема выборки Входными значениями таблицы являются число пар ис­следуемых признаков (п) и уровень значимости (0,05 или 0,01). При этом нулевая гипотеза заключается в том, что корреляцион­ной связи между исследуемыми параметрами не существует. Если получают значения коэффициента корреляции больше таблично­го, с определенной степенью вероятности полагают, что корреля­ция в генеральной совокупности отличается от нуля.

Количественное представление зависимости изменений одного признака от изменений другого позволяет получить показатели регрессии. Как правило, анализ регрессии начинают с графиче­ского изображения данных. При большом числе исходных дан­ных для выявления общей закономерности вычисляются средние значения одного признака (у) в группах (классах), соответствую­щих определенному интервалу значений другого признака (х). При построении графика по усредненным данным точки на гра­фике располагаются вдоль так называемой эмпирической линии регрессии. Затем проводят подбор и составление уравнения рег­рессии. С помощью такого уравнения можно теоретически рас­считать значения, которые должен принимать один признак при определенных значениях другого (уравнение прогноза).

Если предполагается существование линейной зависимости между исследуемыми признаками (линейная регрессия), то про­водить регрессионный анализ наиболее просто. Часто при этом применяют графический метод. Для проведения линии регрессии используют прозрачную линейку, придавая ей такое положение, чтобы выше и ниже предполагаемой линии регрессии оказалось приблизительно одинаковое число эмпирических точек. На полу­ченной прямой определяют координаты двух наиболее отдален­ных точек x_v у_г и х₂, у₂- Затем составляют систему двух уравне­ний:

у₁ = а + bx_v у₂ = а + bх₂.

Из полученной системы уравнений определяют неизвестные а и b: b = (у₂ - у_л)/(х₂ - х_г), а = у_у - bх_х = у₂ - bх₂. Наконец, при из­вестных коэффициентах а и Ь записывают уравнение прогноза, на основании которого можно рассчитать значение параметра у при известном значении х.

Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления и формы связи между признаками, измерению ее тесноты и к оценке достоверности выборочных показателей корреляции. Корреляционная связь между признаками может быть линейной и криволинейной (нелинейной), положительной и отрицательной.  Прямая корреляция отражает однотипность в изменении признаков: с увеличением значений первого признака увеличиваются значения и другого, или с уменьшением первого уменьшается второй. Обратная корреляция указывает на увеличение первого признака при уменьшении второго или уменьшение первого признака при увеличении второго. Например, больший прыжок и большее количество тренировок — прямая корреляция, уменьшение времени, затраченного на преодоление дистанции, и большее количество тренировок — обратная корреляция.

В практических исследованиях возникает необходимость аппроксимировать (описать приблизительно)диаграмму рассеяния математическим уравнением. То есть зависимость между переменными величинами Yи Х можно выразить аналитически с помощью формул и уравнений и графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. График корреляционной зависимости строится по уравнениям функции   и  , которые называются регрессией (термин “регрессия” происходит от лат. regressio — движение назад). Здесь   и   — средние арифметические из числовых значений зависимых переменных Y и X. Для выражения регрессии служат эмпирические и теоретические ряды, их графики — линии регрессии, а также корреляционные уравнения (уравнения регрессии) и коэффициент линейной регрессии. Показатели регрессии выражают корреляционную связь двусторонне, учитывая изменение средней величины  признака Y при изменении значений x_i признака X, и, наоборот, показывают изменение средней величины   признака Х по измененным значениям y_i признака Y. Исключение составляют временные ряды, или ряды динамики, показывающие изменение признаков во времени. Регрессия таких рядов является односторонней. Ряды регрессии, особенно их графики, дают наглядное представление о форме и тесноте корреляционной связи между признаками,в чем и заключается их ценность. Форма связи между показателями, влияющими на уровень спортивного результата и общей физической подготовки занимающихся физической культурой и спортом, может быть разнообразной. И поэтому задача состоит в том, чтобы любую форму корреляционной связи выразить уравнением определенной функции (линейной, параболической и т.д.), что позволяет получать нужную информацию о корреляции между переменными величинами Y и X, предвидеть возможные изменения признака Y на основе известных изменений X, связанного с Y корреляционно.