- •2. Основные понятия теории вероятностей : Случайные события, совместные и несовместные события.
- •3. Основные понятия теории вероятностей : полная совокупность событий, противоположное событие, элементарное событие.
- •5. Вычисление упорядоченных выборок без повторений. Привести пример.
- •6. Вычисление упорядоченных выборок с повторениями. Привести пример
- •7.Вычисление неупорядоченных выборок без повторений. Привести пример
- •8.Вычисление неупорядоченных выборок с повторениями. Привести пример
- •9. Геометрическая вероятность. Привести примеры. Геометрические вероятности.
- •12. Условная вероятность. Вероятность произведения двух зависимых событий.
- •14. Понятие дерево вероятностей.
- •16.Схема Бернулли. Биномиальные коэффициенты.
- •17. Локальная предельная теорема Муавра - Лапласа.
- •19.Интегральная предельная теорема Лапласа как предельное испытание Бернулли.
- •18.Теорема Пуассона. Функция Пуассона как предельное испытание Бернулли
- •21.Понятие случайной величины (св). Понятие функции распределения вероятностей св.
- •24.Математическое ожидание дискретной св и его важнейшие свойства
- •Свойства математического ожидания.
- •25.Дисперсия дискретной св и ее важнейшие свойства
- •30. Непрерывные случайные величины. Функция распределения ( интегральный закон распределения), ее свойства.
- •31.Непрерывные св. Плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция), ее свойства.
- •32.Математическое ожидание непрерывной св, ее свойства.
- •Свойства математического ожидания.
- •33.Дисперсия непрерывной св, ее свойства. Стандартное отклонение.
- •35.Вероятность попадания нормально распределенной св в заданный интервал. Правило трех сигм, ее численная реализация.
- •Правило трех сигм. Используя формулу: , вычислим для случая .
- •36.Показательное распределение. Плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия. Численная реализация правила трех сигм.
- •37.Равномерное распределение. Плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.
- •Неравенство Чебышева.
- •39. Центральная предельная теорема (цпт) и следствия из нее.
2. Основные понятия теории вероятностей : Случайные события, совместные и несовместные события.
Определение: Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример: Выпадение «орла» или «решки» при подбрасывании монеты.
Случайным событием будем называть событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
Совместные события – такие события, появление одного из которых не исключает возможности появления другого.
3. Основные понятия теории вероятностей : полная совокупность событий, противоположное событие, элементарное событие.
Определение: Два события А и В называют противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит (обозначают А и А ).
Пример: При выстреле по мишени противоположны:
А = {попадание} и А = {промах}.
Полная совокупность событий – { } . Какое-нибудь одно из этих событий реализуется и даст омегу. Омега- это событие (достоверное).
Элементарное событие – это любой простейший исход эксперимента. Множество всех элементарных исходов(событий) называется пространством элементарных исходов.
5. Вычисление упорядоченных выборок без повторений. Привести пример.
Выборки. Если из множества предметов выбирается некоторое подмножество, то его называют выборкой. Выборки бывают упорядоченные и неупорядоченные.
В упорядоченной выборке существенен порядок, в котором следуют ее элементы, другими словами, изменив порядок элементов, мы получим другую выборку.
Пример. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить следующие трехзначные числа 123, 431, 524, ...и т.д. Это упорядоченные трехэлементные выборки, так как 123 и 132 - разные числа. Размещения . Размещениями из n элементов по m различных элементов ( m n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются как самими элементами, так и порядком элементов. Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:
n – это исходное число
|
Пример. Д= {a,b,c}. Составить различные размещения по 2 элемента.
=
6. Вычисление упорядоченных выборок с повторениями. Привести пример
Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные m-элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.
Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:
|
|
Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если буквы могут повторяться?
Решение. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА. По формуле (3.2) получаем: наборов.
7.Вычисление неупорядоченных выборок без повторений. Привести пример
Сочетания .Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов). Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m) вычисляется по формуле:
Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если буквы в наборе не повторяются . Решение.
Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ . По формуле получаем: наборов.