24.Математическое ожидание дискретной св и его важнейшие свойства

Определение: Математическим ожиданием ДСВ называют сумму произведений всех возможных их значений на соответствующие им вероятности.

Пусть ДСВ задана законом распределения:

X	x1	x2	x3	……	xn
P	P1	P2	P3	……	Pn

.

Математическое ожидание данной ДСВ будет

M(X) = P₁ * x₁ + P₂ * x₂ + ….. + P_n * x_n =

Свойства математического ожидания.

Свойство 1: M ( C ) = C, где C = const . Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

X	С	С	С	……	С
P	P1	P2	P3	……	Pn

M ( C ) = С* P₁ + С* P₂ + …. + С* P_n + = С*( P₁ + P₂ + …. + P_n ) = С*1=С .

Определение: Произведением постоянной случайной величины С на случайную величину Х называют новую случайную величину, значения которой равняются произведениям значений случайной величины на константу (const).

C*X	С*x1	С*x2	С*x3	……	С*xn
P	P1	P2	P3	……	Pn

Свойство 2: M(C*X) = C* M(X) – постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Свойство 3: Математическое ожидания произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий.

M(X*Y) = M(X) * M(Y) .

Даны законы распределения вероятностей двух независимых случайных величин:

X	x1	x2
P	P1	P2

Y	y1	y2
P	Q1	Q2

Тогда закон распределения произведения:

X*Y	x1*y1	x1*y2	x2*y1	x2*y2
P	P1*Q1	P1*Q2	P2*Q1	P2*Q2

M(X*Y) = x₁*y₁*P₁*Q₁ + x₁*y₂*P₁*Q₂ + x₂*y₁*P₂*Q₁ + x₂*y₂*P₂*Q₂ = x₁* P₁*(y₁* Q₁ + y₂*Q₂ ) + x₂* P₂*(y₁* Q₁ + y₂*Q₂ ) = ( x₁*P₁ + x₂*P₂ ) * (y₁*Q₁ + y₂*Q₂ +) = M(X)*M(Y) .

Свойство 4: Математическое ожидание суммы случайных величин равняется сумме математических ожиданий каждой из случайных величин

M(X+Y) = M(X) + M(Y) .

Доказательство: Имеем две случайные величины X и Y с законами распределения

X	x1	x2		Y	y1	y2
P	P1	P2		P	Q1	Q2

Составим закон распределения для суммы случайных величин (X+Y):

X+Y	x1+y1	x1+y2	x2+y1	x2+y2
P	P11	P12	P21	P22

Вычислим математическое ожидание суммы случайных величин:

M(X+Y) = ( x₁+y₁ )* P₁₁ + ( x₁+y₂ )* P₁₂ + ( x₂+y₁ )* P₂₁ + ( x₂+y₂ )* P₂₂ = (P₁₁ + P₁₂)* x₁ + (P₂₁ + P₂₂)* x₂ +(P₁₁ + P₂₁)* y₁ +(P₁₂ + P₂₂)* y₂ .