§1 Теория погрешности
Определение 1: значение той или иной величины, в истинности которой мы не сомневаемся, называется точным числом.
Примеры: 5 пальцев на руке, 7 дней в неделю, 5 и 7 – числа точные.
Определение 2:
число, которое занимает точное число в
вычислениях, называется числом
приближенным. Примеры:
,
.
Чаще мы имеем дело с числами приближенными. Их получают, например, при измерении физических величин с помощью инструментов или приборов, имеющих определенный предел точности.
Обозначим х –
точное значение, а – приближение к этому
числу. Записывают
Если
,
то а – приближение по недостатку.
Если
,
то а – приближение по избытку.
,
3.14 – по недостатку, 3.15 – по избытку.
Определение 3: погрешностью приближенного числа а называется разность между точным или приближенным числом (х-а).
Определение 4:
абсолютной погрешностью приближенного
числа а называется модуль погрешности.
-
абсолютная погрешность.
Определение 5: предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называют число, которого не превосходит абсолютная погрешность числа.
(
)
(1)
Неравенство (1) равносильно неравенству
(2)
Краткая запись
Пример: число
- предельная абсолютная погрешность.
.
Запись:
Абсолютная погрешность не характеризует качество приближения.
Например, на
одних и тех же весах взвесили
гр.,
гр.
В первом случае качество взвешивания лучше.
Определение 6:
предельной относительной погрешностью
приближенного числа а (
)
называют отношение предельной абсолютной
погрешности к модулю приближенного
числа
(3)
Относительная погрешность измеряется в процентах.
Пример:
Из ( 3 )
(4)
Основные источники погрешности:
1) погрешность
связана с построением математической
модели и не точностью исходных данных,
которые берутся в результате опыта и
являются приближенными. Эта погрешность
уже не может быть устранена в последующих
вычислениях и потому ее называют
неустранимой (
)
2) приступив к
решению задачи в рамках построенной
модели, выбирают приближенные методы
решения задач. Тем самым появляется
погрешность метода, обозначают
погрешность округления (
)
Полная
погрешность – это сумма всех погрешностей
Округление. Погрешность округления.
Пусть а –
приближенное число, а
- округленное число,
- погрешность округления.
Округление бывает:
а) по недостатку;
б) по избытку;
в) по дополнению (отбрасываются все числа справа).
Примеры:
а=254.82, округлить до целых.
- по недостатку
- по избытку
- по дополнению
2) а=2137543, округлить до тысяч.
- по недостатку
- по избытку
- по дополнению
Две основные задачи теории погрешности.
Прямая: указаны действия, которые следует выполнить над приближенными значениями чисел и заданы погрешности приближения. Требуется, проведя вычисления, получить результат и оценить его погрешность.
Обратная: задаются некоторые приближения к исходным данным и погрешность результата. Требуется, проведя рассуждения, найти погрешности исходных данных такие, что для них погрешность результата при выполнении вычислений не превосходила бы данной.
Замечания:
1) в прямой задаче погрешности промежуточных действий и окончательного результата берутся с избытком;
2) в обратной задаче погрешности исходных данных требуется брать с недостатком;
при выполнении вычисления над приближенными числами округление проводят по дополнению.