2. Вычисления без строгого учета погрешностей

Вычисления без строгого учета погрешностей проводятся по правилам верных знаков. Приближенные числа удобно записывать в виде десятичных дробей

- цифры разрядов

- цена старшего разряда

- цена младшего разряда

Определение 1: цифра в десятичной записи приближенного числа называется верной в широком смысле слова, если абсолютная погрешность числа не превосходит одной единицы разряда этой цифры, то есть, если - цифра разряда , то

Определение 2: цифра в десятичной записи приближенного числа называется верной в узком ( строгом ) смысле слова, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда этой цифры, то есть если , то

Пример: х=15.84+0.07

Так как , то 1, 5, 8 – верны в широком смысле слова.

Определение 3: значащими цифрами числа называют все его верные цифры, кроме нулей, стоящих левее первой цифры

Примеры: 1) , так как , то 1, 5, 8 – верные и значащие;

2)

, 0, 0, 1, 2 – верные цифры, 1, 2 – значащие

3)

, 0, 5, 0 – верные; 5, 0 – значащие

4)

,

, 4, 2, 6 – значащие.

Правила верных знаков:

1. если число слагаемых не велико (n<10), то при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует оставлять столько десятичных знаков, сколько имеет слагаемое с меньшим количеством десятичных знаков;

2. при умножении и делении приближенных чисел в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их имеет исходные данные с меньшим количеством значащих цифр;

3. при возведении в степень (извлечения корня) в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени (подкоренное выражение).

4. если действие промежуточное, то в нем оставляют на одну-две цифры больше, чем рекомендуют правила 1 и 2, эти цифры называют запасными. Округляя результат, запасные цифры отбрасывают.

5. если результат надо получить с к верными цифрами, то исходные данные следует взять с (k+1) верной цифрой.

Пример: ,

1) 9

2) 8

3) 6

4) 19.89-2.376=17.51

5) 0

6) 4

8

§2 Численное решение нелинейных уравнений.

Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важнейших задач вычислительной математики. Многие задачи из различных областей сводятся к решению уравнений.

Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:

(1)

Нелинейные уравнения подразделяются на алгебраические и трансцендентные. В общем случае определить точно корни уравнения (1) не представляется возможным, так как коэффициенты в большинстве своем определяются экспериментально и являются числами приближенными, поэтому сама постановка задачи о точном решении теряет смысл. Возникает вопрос о нахождении приближенных значений корней, то есть речь идет о численных методах.

Определение 1: совокупность значений переменной х, при которых уравнение

(1) превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х из этой совокупности называется корнем уравнения.

Решить уравнение – это значит установить, имеет ли оно корни, сколько их, и найти значения корней с заданной точностью.

В дальнейшем мы будем рассматривать только вычисление действий корней.

Задача нахождения корней обычно состоит из двух этапов:

- отделение корней;

- уточнение корней с заданной точностью.

I отделение корней.

Определение 2: говорят, что корень отделен на отрезке , если он принадлежит этому отрезку и других корней на отрезке нет.

Исходя из определения, следует: отделить корни уравнения – значит разбить область определения функции на промежутки, в каждом из которых находится не больше одного корня.

Во многих случаях отделение корней можно провести графически, для этого строят график функции . Абсциссы точек пересечения графика с осью Ох и являются корнями уравнения . Можно взять точку с такую, что ,

y

y=f(x)

c

a 0 x*₁ x*₂ b

Построение графиков часто удается упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением

(2)

В этом случае строятся графики функций и . Находят точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения (1).

Если имеется предположение, что на (a,b) содержится корень уравнения, то это предположение затем проверяется аналитически, пользуясь свойствами непрерывных и дифференцируемых функций, которые изучались в курсе математического анализа.

Теорема 1(существования корня): если функция определена и непрерывна на отрезке и на концах его принимает значение разных знаков, то внутри отрезка существует по крайне мере один корень уравнения

:

Теорема 2 (существования и единственности корня): если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в интервале (a,b) существует корень уравнения (1) и этот корень единственный

:

Достаточным условием единственности корня является монотонность.

Теорема 3(существование и единственность корня): если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале (a,b), принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная сохраняет постоянный знак в интервале (a,b), то существует единственный корень уравнения (1) в этом интервале

:

Достаточным условием единственности корня является сохранение знака производной.

Пример: отделить корни уравнения

Перейдем к равносильному уравнению

Строим графики функций и ,

y

y₂ 1 y₁

1

x

-1 0

Докажем аналитически существование корня в интервале (-1,0)

непрерывна как сумма двух непрерывных функций на множестве R

,

корень существует

(так как ) по теореме (3) существует единственный корень в (-1,0).

Для аналитического отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ. Фактически надо протабулировать функцию с шагом h. Как только обнаружится пара соседних значений функции , имеющих разные знаки и монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента x (предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

II уточнение корней.

Итак, пусть корень уравнения отделен на отрезке . Имеем:

, , - непрерывна и монотонна.

Требуется найти корень с точностью .

x*

a b x

Если длина отрезка, то есть число , то и a и b можно рассматривать как приближенные значения корня, ибо абсолютная погрешность каждого из них .

Отсюда, для получения приближенного значения корня с точностью , достаточно найти отрезок, которому принадлежит корень и длина которого не больше .

Любая точка отрезка в этом случае может быть выбрана в качестве приближенного значения корня.

, или , где

Существуют различные методы уточнения корней.