- •§1 Теория погрешности
- •Неустранимая погрешность результата выполнения действий над приближенными числами (вычисления со строгим учетом погрешностей).
- •Вычисления без строгого учета погрешностей
- •§2 Численное решение нелинейных уравнений.
- •2.1 Метод проб
- •2.2 Метод хорд («метод ложного положения» или «метод пропорциональных частей»)
- •2.3 Метод касательных (метод Ньютона)
- •2.4 Комбинированные методы
- •§3 Решение систем линейных уравнений
- •3.2 Текущий и окончательный контроль вычислений в методе Гаусса
- •3.3 Уточнение корней
- •3.4 Метод квадратных корней.
2.3 Метод касательных (метод Ньютона)
Пусть корень уравнения отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке .
Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой на отрезке заменяется касательной к этой кривой, за приближенное значение корня принимается абсцисса точки пересечения касательной с осью Ох.
Пусть для определенности и на , то есть имеем случай 1).
y
a x* c’1
0 c’2 b x
График функции проходит через точки и . Проведем касательную к кривой в точке . Найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
(5)
Полагая и , из (5) выразим :
(6)
(6) – формула метода касательных.
Теперь корень уравнения находится на отрезке . Проведем касательную к кривой в точке и найдем точку пересечения касательной с осью Ох. Обозначим абсциссу - и получим:
(7)
Получаем последовательность приближенных значений . Каждый последующий член, которой ближе к корню . Последовательность - убывающая и ограничена снизу числом . По теореме об ограниченной последовательности, она сходится и имеет предел . За приближенное значение корня можно принять к-ое приближение . Аналогичным образом строится последовательность и в случае 3).
Замечание: для того, чтобы точка пересечения касательной с осью Ох лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в том конце, где знаки функции и второй производной одинаковы.
Для случая 2) и 4) касательную надо проводить в точке A, где в – неподвижный конец.
Строя приближения, получим последовательность возрастающую и ограниченную сверху , следовательно, она имеет предел
В случае 1) и 3) приближенное значение ,
- приближенное значение корня с избытком.
Во 2) и 4) – приближение - приближение с недостатком.
Для оценки погрешности приближенного значения корня справедлива следующая теорема.
Теорема: если точный корень уравнения и его приближенное значение , на котором функция дифференцируема и , , то справедливо неравенство
Доказательство:
Так как и , на котором функция дифференцируема, то она и непрерывна в этом промежутке и в частности на концах, тогда выполняется условие теоремы Лагранжа для отрезка . По теореме Лагранжа имеем: , .
Так как , то
Взяв модули, имеем:
Так как , то
Если за взять ( или ), то
, (8)
где на множестве Х
- n –ое приближение, полученное по методу хорд ( ) или касательных ( ).