- •Раздел 1 Начисление процентов 6
- •Глава 1. Простые проценты 6
- •Глава 2. Сложные проценты 22
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок 41
- •Раздел 2 Потоки платежей 51
- •Глава 4. Постоянные финансовые ренты 51
- •Глава 10. Форфейтная операция 137
- •Глава 11. Облигации 148
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций 168
- •Предисловие
- •Раздел 1 Начисление процентов Глава 1. Простые проценты
- •1.1. Время как фактор в финансовых расчетах
- •1.2. Проценты, виды процентных ставок
- •1.3. Наращение по простой процентной ставке
- •1.4. Погашение задолженности частями
- •1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке
- •1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи
- •1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •1.9. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 2. Сложные проценты
- •2.1. Начисление сложных годовых процентов
- •2.2. Рост по сложным и простым процентам
- •2.3. Наращение процентов т раз в году; номинальная и эффективная ставки
- •2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента
- •2.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты
- •2.8. Определение срока платежа и процентных ставок
- •2.9. Кривые доходности
- •2.10. Конверсия валюты и наращение сложных процентов
- •2.11. Наращение процентов, налоги и инфляция (простые и сложные проценты)
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок
- •3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •3.2. Консолидирование задолженности
- •3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
- •3.4. Эквивалентность процентных ставок
- •3.5. Средние процентные ставки
- •Раздел 2 Потоки платежей Глава 4. Постоянные финансовые ренты
- •4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •4.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей
- •4.7. Постоянная непрерывная рента
- •Глава 5. Переменные потоки платежей
- •5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей
- •5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •5.3. Непрерывные переменные потоки платежей
- •5.4. Конверсии постоянных аннуитетов
- •5.5. Изменения параметров ренты
- •Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа Глава 6. Страховые аннуитеты
- •6.1. Финансовые ренты в страховании
- •6.2. Страхование жизни
- •6.3. Пенсионное страхование
- •6.4. Расчеты тарифов и размеров пенсий
- •6.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •Глава 7. Планирование погашения долгосрочной задолженности
- •7.1. Расходы по обслуживанию долга
- •7.2. Планирование погасительного фонда
- •7.3. Погашение долга в рассрочку
- •7.4. Льготные займы и кредиты
- •7.5. Реструктурирование займа
- •Глава 8. Ипотечные ссуды. Погашение потребительского кредита
- •8.1. Виды ипотечных ссуд
- •8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам
- •8.3. Нестандартные ипотеки
- •8.4. Погашение потребительского кредита
- •Глава 9. Анализ кредитных операций
- •9.1. Полная доходность
- •9.2. Баланс финансово-кредитной операции
- •9.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •9.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •9.5. Доходность потребительского кредита
- •9.6. Долгосрочные ссуды
- •9.7. Сравнение коммерческих контрактов
- •9.8. Определение предельных значений параметров контрактов
- •Глава 10. Форфейтная операция
- •10.1. Сущность операции а форфэ
- •10.2. Анализ позиции продавца
- •10.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 11. Облигации
- •11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •11.2. Измерение доходности облигаций
- •11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска
- •11.5. Оценка займов и облигаций
- •11.6. Возмещение премии и накопление дисконта облигаций
- •11.7. Портфель облигаций
- •11.8. Изменение структуры портфеля облигаций. Метод "бабочки"
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций
- •12.1. Инвестиционный процесс как объект количественного финансового анализа
- •12.2. Чистый приведенный доход
- •12.3. Основные измерители эффективности капиталовложений
- •12.4. Измерение эффективности сложных систем. Моделирование инвестиционного процесса
- •12.5. Аренда оборудования
- •Приложение. Таблицы для финансовых расчетов
4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
Методом прямого счета, как это было показано в параграфе 4.2, можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты. Однако удобнее, особенно в аналитических целях, воспользоваться более компактными формулами. Поскольку обобщающие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим эти формулы для всех видов постоянных рент, хотя для понимания существа дела достаточно разобраться с расчетом соответствующих характеристик годовой ренты.
Годовая рента. Начнем с наиболее простого случая — годовой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в конце каждого года вносится по R руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R, а срок n. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты — на первый член проценты начисляются n — 1 год, на второй п — 2 и т. д. На последний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенные к концу срока каждого взноса суммы составят:
R(1 + i)n-1, R(1 + i)n-2,..., R(1 + i), R.
Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + i) и первым членом R. Число членов прогрессии равно п. Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии. Отсюда
(4.4)
Обозначим множитель, на который умножается R, через sn;j; индекс n;j указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки. В дальнейшем этот множитель будем называть коэффициентом наращения ренты. Этот коэффициент представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1.
(4.5)
Таким образом,
S = Rsn;j. (4.6)
Как видим, коэффициент наращения ренты зависит только от срока (числа членов ренты) и процентной ставки. С увеличением каждого из этих параметров его величина увеличивается. При i = 0 S = Rn, при n = 1 S = R. Значения коэффициента легко табулировать. Фрагмент такой таблицы приведен в Приложении, табл. 4.
Пример 4.2. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение пяти лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых. Поскольку в таблице коэффициентов наращения (Приложение, табл. 4) нет такого значения ставки, то необходимую величину определим по формуле (4.4). Величина фонда на конец срока составит:
S = 4 х s5;18,3 = = 28,9 млн. руб.
Заметим, что полученные выше формулы (4.4) и (4.5) могут применяться и для определения наращенной суммы p-срочной ренты. В этом случае переменная п означает число периодов, в свою очередь i является ставкой за период. Например, пусть рента постнумерандо выплачивается по полугодиям. Тогда в формуле (4.4) под n следует понимать число полугодий, а под i — сложную ставку за полугодие.
Годовая рента, начисление процентов т раз в году. Пусть, как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты начисляются т раз в году. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке):
R, R(1+ j/m)m, R(1+ j/m)2m,..., R(l + j/m)(n-1)m,
где j — номинальная ставка процентов.
Нетрудно убедиться, что и в этом случае мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель — (1 + j/m)m. Сумма членов этой прогрессии равна
(4.7)
Пример 4.3. Несколько изменим условия примера 4.2. Пусть теперь проценты начисляются поквартально, а не раз в году. Имеем j/m = 18,5/4, тп = 20.
= 29,663 млн руб.
Как видим, переход от годового начисления процентов к поквартальному несколько увеличил наращенную сумму.
Рента p-срочная (т = 1). Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется один раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Общее число членов ренты равно пр. Ряд членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/p, знаменатель — (1 + i)1/p. Сумма членов этой прогрессии:
(4.8)
Пример 4.4. Опять вернемся к условиям примера 4.2. Допустим, теперь платежи выплачиваются поквартально: R/p - 1 млн. руб., общее число платежей равно 20. Наращенная сумма составит
S = 4 = 30,834 млн. руб.
Рента p-срочная (р = m). На практике часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов, т. е. когда р = т. Для получения необходимой формулы воспользуемся формулой (4.4), в которой i заменяется на j/m, а вместо числа лет берется число периодов выплат ренты пр, член ренты равен R/p. Поскольку р = т, то в итоге получим:
(4.9)
Искомая величина может быть получена и по формуле (4.4). В этом случае вместо числа лет подставляем в формулу число периодов, а вместо годового члена ренты — выплату за период, кроме того, вместо годовой ставки берется ставка за период.
Пример 4.5. Продолжим наш сквозной пример 4.2 - 4.4. Пусть выплата членов ренты и начисление процентов производятся поквартально. По формуле (4.9) получим:
S = 4 = 31,785 млн. руб.
или по формуле (4.4):
= 31,785 млн. руб.
Рента p-срочная (p<>m). Определим теперь наращенную сумму для наиболее общего случая — p-срочная рента с начислением процентов т раз в году. Общее количество членов ренты равно пр, величина члена ренты R/p. Члены ренты с начисленными процентами образуют ряд, следующий геометрической прогрессии, с первым членом R/p и знаменателем (1+ j/m)m/p. Сумма членов такой прогрессии составит:
(4.10)
Пример 4.6. Если в ренте, наращенная сумма которой определялась в предыдущем примере, начисление процентов производится ежемесячно, то
= 32, 025 млн руб.
Непрерывное начисление процентов. Обсуждение методов определения наращенных сумм дискретных рент будет неполным, если не охватить ренты с непрерывным начислением процентов. Перепишем в обратном порядке ряд платежей с начисленными непрерывными процентами. Пусть это будут ежегодные платежи постнумерандо. Получим . Сумма членов этой прогрессии равна
(4.11)
где е — основание натуральных логарифмов, — сила роста.
Аналогично для p-срочной ренты находим:
(4.12)
Пример 4.7. Если бы в условиях примера 4.2 вместо ежегодного начисления процентов предусматривалось непрерывное их начисление, причем сила роста была бы равна 18,5%, то: S = 4 = 29,955 млн. руб.
При ежеквартальной выплате членов ренты получим: S = 4 = 32,150 млн. руб.
Заметим, что непрерывное начисление процентов членов дискретной ренты дает в итоге такую же сумму, что и наращение по дискретной ставке i или j, если сила роста эквивалентна этим ставкам. Продемонстрируем сказанное. Сила роста, эквивалентная годовой ставке 18,5% согласно формуле (3.31), составит = ln (1 + + 0,185) = 0,16974. Тогда для годовой ренты находим:
S = 4 = 28,900 млн руб. (см. пример 4.2).
Сравнение результатов наращения годовых и p-срочных рент постнумерандо с разными условиями выплат и наращения процентов. Как видно из приведенных примеров, условия выплат (точнее, их частота) и наращения процентов заметно влияют на размер наращенной суммы. Для практика, очевидно, представляет определенный интерес соотношение этих сумм. Ниже сравниваемые суммы обозначены как S(p;m): так, S(1;1) означает наращенную сумму годовой ренты с ежегодным начислением процентов, S(1;m) — аналогичную характеристику для ренты с начислением процентов т раз в году, наконец, S(p; ) — наращенную сумму р-срочной ренты с непрерывным начислением процентов.
Для одних и тех же сумм годовых выплат, продолжительности рент и размеров процентных ставок (i = j = ) получим следующие соотношения:
(4.13)
Приведенные неравенства могут быть использованы при выборе условий контрактов, так как позволяют заранее (до расчета) получить представление о приоритете того или иного условия. Например, можно заранее сказать, что рента с условиями р = 2 и т = 4 дает меньшую наращенную сумму, чем с р = 4 и т = 2 при равенстве всех прочих условий.
Для иллюстрации приведем значения S(p;m) для ренты с параметрами п = 10, R = 10, i =j = = 6% :
|
т = 1
|
m = 2
|
m = 4
|
m = 12
|
т =
|
р = 1
|
131,81
|
132,37
|
132,65
|
132,85
|
132,95
|
р = 4
|
134,74
|
135,35
|
135,67
|
135,88
|
135,99
|