9.5. Доходность потребительского кредита

Метод начисления процентов в потребительском кредите с равномерным его погашением во времени рассмотрен в гл. 1. Реальная доходность такого вида ссуды в виде годовой ставки сложных процентов на инвестированные в операцию средства должна определяться с учетом фактического остатка задолженности после каждого платежа по кредиту. Погасительные платежи по кредиту представляют собой постоянную р-срочную ренту. Таким образом, оценка искомой ставки сводится к расчету коэффициента приведения такой ренты по данным, характеризующим условия потребительского кредита. Затем на основе полученного коэффициента приведения рассчитывается искомая ставка.

Как было установлено в гл. 1, каждый раз должник в счет погашения выплачивает сумму

Годовая сумма платежей равна

Приравняем современную величину платежей (дисконтируя по неизвестной ставке i_Э) сумме долга:

Отсюда

(9.17)

где i — ставка простого процента, принятая при расчете задолженности по потребительскому кредиту.

Значение i_Э рассчитывают по одним из приближенных методов, рассмотренных в параграфе 4.4. Получаемая при решении (9.17) относительно i_Э ставка годовых сложных процентов заметно больше ставки, примененной при кредитовании (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Доходность потребительского кредита в виде годовой ставки сложных процентов, %

Число лет кредита	Годовая ставка за кредит
	4	5	8
3	7,8	9,7	15,6
4	7,6	9,5	15,4
5	7,5	9,2	15,1

Пример 9.9. Потребительский кредит выдан на три года на сумму 10 млн. руб. по ставке 10% годовых. Общая сумма задолженности составит 10 000(1 + 3 х 0,1) =13 000 тыс. руб. Погасительные платежи образуют постоянную ренту, коэффициент приведения которой

Искомая ставка составит 19,46%. На первый взгляд большой разрыв между номинальной и действительными ставками (10% простых и 19,5% сложных) представляется в какой-то мере парадоксальным. Однако никакого парадокса здесь нет: 10% начисляются на неизменную сумму первоначального долга, в действительности же долг последовательно уменьшается во времени. Потребителя заставляют платить и за кредит, которым он фактически не пользуется.

В приведенном примере действительная ставка процентов по потребительскому кредиту почти в два раза превысила объявленную в договоре ставку. Обнаруженное почти двукратное превышение действительной ставки над объявленной ставкой процентов с небольшими вариациями сохраняется, как видно из табл. 9.1, и при других ставках и сроках кредита.

9.6. Долгосрочные ссуды

Очевидно, что способ погашения долгосрочной задолженности оказывает заметное влияние на эффективность соответствующей финансовой операции для кредитора. В данном параграфе кратко рассмотрены методы оценивания ПД долгосрочных ссуд для двух случаев: 1) когда проценты погашаются последовательными платежами, а основная сумма долга выплачивается в конце срока и 2) когда долг и проценты погашаются последовательно на протяжении всего срока ссуды. В обоих случаях предусматривается выплата комиссионных.

Ссуды с периодической выплатой процентов. Если комиссионные не выплачиваются, то доходность равна годовой ставке сложных процентов, эквивалентной любым применяемым в сделке процентным ставкам. Ситуация усложняется, если имеется еще один источник дохода для кредитора — комиссионные. Пусть ссуда D погашается через n лет, проценты по простой процентной ставке i выплачиваются регулярно в конце года. Проценты в таком случае равны Di. Должнику с учетом комиссионных выдается ссуда в размере D(1 - g). Балансовое уравнение, полученное дисконтированием всех платежей по неизвестной ставке i_Э, имеет вид:

Здесь v = (1 + i_Э)^-1, . Теперь это уравнение можно представить в виде функции от i_Э следующим образом:

Если проценты выплачиваются р раз в году, то

Задача, следовательно, заключается в нахождении корня степенной функции.

Пример 9.10. На три года выдана ссуда в 1 млн. руб. под 10% годовых, проценты выплачиваются ежегодно. При выдаче ссуды сделана скидка в пользу владельца денег в размере 5%. В результате должник получил 950 тыс. руб. Для расчета искомой ставки i_Э сразу можно написать функцию от i_Э:

Решение, например, методом Ньютона - Рафсона или простым подбором дает i_Э = 1,12088. Таким образом, доходность операции для кредитора и соответственно цена кредита для должника в виде годовой ставки сложных процентов равны 12,088%.

По-видимому, здесь уместно произвести проверку результата и описать процесс погашения ссуды исходя из найденного значения процентной ставки. Итак, долг в размере 950 тыс. руб. вырастает за первый год до 950 х 1,12088 = 1064,84, после первой уплаты задолженность составит 964,68; на конец второго года имеем 964,84 х 1,12088 - 100 = 981,47 и, наконец, в последнем году сумма, подлежащая уплате, равна 981,47 х 1,12088 = 1100 тыс., руб. (см. рис. 9.1).

Ссуды с периодическими расходами по долгу. Пусть по ссуде периодически выплачиваются проценты и погашается основной долг, причем сумма расходов постоянна. Тогда балансовое уравнение для случая, когда платежи производятся в конце года, можно представить в виде

где R — ежегодная сумма по обслуживанию долга (срочная уплата). Поскольку (см. параграф 7.3), то

(9.18)

Аналогично для случая, когда погасительные платежи осуществляются р раз в году, находим

(9.19)

где и — коэффициенты приведения годовой и р-срочной ренты, члены которой равны расходам должника по ссуде.

Пример 9.11. Пусть в примере 9.10 задолженность погашается равными платежами. Все остальные условия не изменяются. В этом случае согласно (9.18)

= a_3;10(l - 0,05) = 2,48685 x 0,95 = 2,36251.

Расчет i_Э по заданному значению = 2,36251 можно легко осуществить с помощью линейной интерполяции. Поскольку i_Э > 10%, то примем i_н = 12% и i_в = 13%. Находим следующие табличные значения коэффициентов приведения: a₃.₁₂ = 2,38134, a_3;13 = 2,36115. Интерполяционное значение ставки

i_Э = 12 + (13 - 12) = 12,933%.

Нерегулярный поток платежей. Задолженность может быть погашена путем выплаты нерегулярного потока платежей: R₁,..., R_n. Эффективность кредита при таком способе погашения определим на основе следующего уравнения, балансирующего вложения и отдачи:

(9.20)

где t_j — интервал от начала сделки до момента выплаты j-го погасительного платежа. Из условия сбалансированности сделки находим, применяя договорную ставку i, величину последнего взноса:

(9.21)

где q = 1 + i_Э;

T = T_j, T_j — срок от выплаты j-го платежа до конца сделки.

Продемонстрированный выше метод оценки показателя полной доходности на основе функции f(i_Э) применяется, в частности, при анализе облигаций и производственных инвестиций. В следующих главах мы обсудим эти проблемы.