- •В.2. Развитие теории автоматического регулирования
- •1.9.2. Информация в системе управления
- •Автоматизированной системе управления
- •1.10. Модель. Моделирование
- •2.1.1. Принцип разомкнутого управления
- •2.1.2. Принцип компенсации
- •2.1.3. Принцип обратной связи
- •Алгоритм стабилизации
- •Алгоритм программного управления
- •Алгоритм слежения
- •Оптимальный алгоритм функционирования
- •Адаптивный алгоритм функционирования
- •2.4. Статическое и астатическое регулирование
- •2.5. Классификация сау по характеру внутренних динамических процессов
- •2.3. Типовая функциональная схема сау(сар) и ее элементы
- •Чувствительные (измерительные или воспринимающие) элементы и датчики
- •Усилители
- •Исполнительные механизмы
- •Корректирующие и стабилизирующие элементы
- •Регуляторы
- •2.6. Основные требования к системам управления. Типовые воздействия. Основные типы переходных процессов
- •3.1. Методика составления дифференциальных уравнений элементов непрерывных сау с сосредоточенными параметрами, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями
- •3.1.1. Формы записи линеаризованных уравнений звеньев. Передаточные функции
- •3.2. Динамические звенья и их характеристики
- •Типовые динамические звенья
- •Временные характеристики типовых динамических звеньев
- •3.2.2. Частотная передаточная функция и частотные характеристики динамического звена
- •1. Безынерционное (идеальное усилительное, пропорциональное) звено
- •2. Апериодическое (инерционное) звено первого порядка
- •Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья
- •Колебательное звено ( )
- •(Значения параметров: )
- •Высота пика тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования
- •Идеальное интегрирующее звено
- •Интегрирующее звено с замедлением (инерциальное нтегрирующее звено)
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •2. Форсирующее звено
- •Дифференцирующее звено с замедлением
- •3.3. Составление передаточных функций и дифференциальных уравнений систем автоматического управления
- •3.3.1. Элементы структурных схем. Основные правила преобразования структурных схем
- •Рассмотрим основные правила преобразования структурных схем.
- •3.3.2. Определение передаточных функций одноконтурной системы. Уравнение замкнутой сау
- •3.4. Частотные характеристики систем автоматического управления
- •3.4.2. Частотные характеристики замкнутой системы. Номограммы для замыкания системы
- •Глава 3. Анализ устойчивости линейных непрерывных сау.
- •23. Понятие об устойчивости сау. Свойства корней характеристического уравнения, необходимые и достаточные для устойчивости сау.
- •На переходный процесс в сау
- •24. Критерий устойчивости Гурвица. Характеристическое уравнение (1, 2, 3, 4 порядков).
- •25. Принцип аргумента. Критерий Михайлова. Правило перемежаемости корней X(ω), y(ω).
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Определение границ устойчивости по критерию Михайлова
- •26. Построение областей устойчивости сау. D-разбиение плоскости 1-го и 2-го порядков.
- •Понятие о d-разбиении
- •27. Критерий устойчивости Найквиста для статических сау.
- •28. Критерий устойчивости Найквиста для астатических сау.
- •29. Определение устойчивости по лачх. Запасы устойчивости по амплитуде ∆а и ∆φ.
- •Глава 4. Анализ качества линейных непрерывных сау.
- •30. Определение переходного процесса в сау с использованием операционного исчисления (преобразование Лапласа).
- •Прямые оценки качества переходного процесса
- •31. Построение кривой переходного процесса по вещественной частотной характеристике.
- •От вчх системы
- •33. Показатели качества h(t) (σ%). Приближённая оценка качества сау по вещественной частотной характеристике p(ω). [вопросы 30 и 31] Показатель колебательности м.
- •35. Интегральные критерии качества.
- •А) монотонной; б) колебательной
- •Глава 5. Синтез корректирующих устройств сау.
- •36. Улучшение качества процессов регулирования. Типы корректирующих устройств.
- •Виды корректирующих устройств
- •37. Синтез последовательного корректирующего устройства.
- •38. Построение Lжел.(ω), соответствующий требованиям к качеству переходного процесса. Синтез корректирующего устройства типа о.С. [вопрос 40]
- •Построение низкочастотной части желаемой лачх
- •Построение среднечастотной части желаемой лачх
- •39. Синтез параллельного корректиркющего устройства (п-, и-, пи-, пид-законов регулирования).
- •40. Синтез двух корректирующих устройств (последовательное и в цепи обратной связи).
- •41. А) Методы повышения точности сау.
- •Компенсации во внутреннюю точку
Рассмотрим основные правила преобразования структурных схем.
1. Передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев направленного действия.
Рис. 3.12. Структурная схема последовательно соединенных звеньев
Система уравнений в этом случае.
x2(t)=x1(t)*W1(p),
x3(t)=x2(t)*W2(p),
y(t)=x3(t)*W3(p).
Исключив из этой системы промежуточные переменные, получим y(t)=x1(t)*[W1(p)*W2(p)*W3(p)].
Отсюда: ,
передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.
2. Параллельное соединение звеньев.
Рис. 3.13. Структурная схема параллельно соединенных звеньев
При таком соединении на вход всех звеньев подается один и тот же сигнал, а выходные величины складываются. Цепь из параллельно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией W(p). Из определения передаточной функции следует:
y1(t)=x(t)*W1(p)
y2(t)=x(t)*W2(p)
y3(t)=x(t)*W3(p).
Сложив переменные, получим y(t)=x(t)*[W1(p)+W2(p)+W3(p)],
,
т.е. передаточная функция группы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.
3. Звено, охваченное обратной связью.
Рис. 3.14. Структурная схема звена, охваченного обратной связью
Обратная связь чаще всего может быть отрицательной, когда e(t)=x(t)-xос(t). Если разомкнуть обратную связь перед сравнивающим звеном, то получим цепь из двух последовательно соединенных звеньев, передаточную функцию этой цепи назовем главной: Wгл(p)=W(p)*Wос(p).
Определим передаточную функцию замкнутой цепи – Ф(p)= . Схема (рис. 3.14) описывается уравнениями:
,
.
Подставим в первое уравнение второе, получим:
,
откуда
Ф . (3.48)
Плюс в знаменателе передаточной функции замкнутой системы соответствует отрицательной обратной связи.
Таким образом, передаточная функция звена, охваченного отрицательной обратной связью, равна передаточной функции прямой цепи – W(p), деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи ( Wгл(p) ). В рассмотренных выше выражениях - оператор дифференцирования.
4. Перенос узлов и сумматоров.
Для удобства расчетов автоматических систем бывает необходимо преобразовать многоконтурную структурную схему к одноконтурной. Замкнутую структурную схему системы называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой-либо точке получается цепочка из последовательно соединенных звеньев или цепь, не содержащая параллельных и обратных связей. Например, это оказывается удобным для построения логарифмических частотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ).
При преобразовании структурных схем возникает необходимость переноса и перестановки узлов и сумматоров. Приведем основные правила:
Перенос узла с выхода на вход звена:
Перенос узла с входа на выход звена:
Перенос сумматора с выхода на вход звена:
Перенос сумматора с входа на выход звена:
№22
3.3.2. Определение передаточных функций одноконтурной системы. Уравнение замкнутой сау
Рассмотрим одноконтурную систему, приведенную на рис. 3.15. Пусть имеются внешние воздействия: g(t) – задающее и f(t) – возмущающее. В общем случае могут быть введены несколько возмущающих воздействий, приложенных в разных местах системы.
Рис. 3.15. Структурная схема одноконтурной САУ
Передаточные функции замкнутой системы записываются отдельно для каждой комбинации выхода и внешнего воздействия.
Выведем выражения для передаточных функций, связывающих выходную величину у с заданием g, выходную величину y с возмущением f и ошибку ε с заданием g. Основные соотношения в изображениях по Лапласу будут иметь вид:
E(S) = G(S)·W0(S) – Y(S)·W3(S) (а)
Y(S) = E(S)·W1(S)·W2(S) + F(S)·W2(S) (б)
Подставив (а) в (б), получим:
Y(S)[1 + W1(S)·W2(S)·W3(S) ] = G(S)·W0(S)·W1(S)·W2(S) + F(S)·W2(S) (в)
1. Найдем передаточную функцию по выходу y и входу g – Фyg(S). Назовем участок схемы от входа g до выхода y прямой цепью. Передаточная функция прямой цепи Wn(S) = W0(S)·W1(S)·W2(S). Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур назовем разомкнутой цепью, ее передаточная функция –
W(S) = W1(S)·W2(S)·W3(S). Из выражения (в) передаточная функция Фyg(S)= , (при f(t)=0). Ее называют главной передаточной функцией замкнутой системы:
(3.49)
2. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки (при f(t)=0) определяется из выражения (а) при подстановке в него передаточной функции Фyg(S):
.
В частном случае (следящие системы и системы стабилизации), когда W0(S) = 1 и W3(S) = 1:
(3.50)
3. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию (при g(t)=0):
.
Подставим (а) в (б) при G(s)=0, имеем Y(S)= –Y(S) W(S) +F(S)W2(S), откуда
. (3.51)
Передаточная функция замкнутой системы для ошибки по возмущающему воздействию (при g(t)=0):
будет той же, что и для величины Y(S) по возмущающему воздействию с точностью до знака
(3.52)
Важно отметить, что знаменатель всех передаточных функций (3.49-3.52) замкнутой системы один и тот же: 1 + W(S), где, как уже говорилось, W(S) - передаточная функция разомкнутой цепи.
Для замкнутой системы в целом (рис. 3.15), когда g(t) ≠ 0 и f(t) ≠0 из (в) имеем:
. (3.53)
В общем случае передаточная функция звена имеет вид:
где Mi(S) и Qi(S)- многочлены с коэффициентами 1 в младших членах, причем, степень Мi(S) ниже степени знаменателя Qi(S), Ki – коэффициенты усилия отдельных звеньев.
Передаточная функция разомкнутой цепи W(S) приводится к стандартному виду . Выносимый при этом множитель К является общим коэффициентом усиления разомкнутой цепи звеньев. Тогда для цепи из последовательно соединенных звеньев (рис. 3.12) K=K1K2….Kn. Для цепи из параллельно соединенных позиционных звеньев (рис. 3.13) K=K1 +K2 +….+Kn. Для цепи с отрицательной обратной связью (рис. 3.14) в случае, если звенья W1, W2, W3 позиционные: .
В случае наличия непозиционных звеньев (интегрирующих и дифференцирующих) формулы для K изменятся.
В реальных системах степень числителя K·M(S) передаточной функции разомкнутой цепи звеньев обычно ниже степени знаменателя Q(S). Дифференциальное уравнение разомкнутой цепи будет:
,
а характеристическое уравнение равно Q(S)=0.
Для замкнутой системы (рис. 3.15) в выражение (3.53) подставим
W0(S)=1, W3(S)=1, , ,
получим
. (3.54)
Обозначим , умножим в (3.54) все на общий знаменатель и перейдем к оригиналам, получим дифференциальное уравнение замкнутой системы для регулируемой величины y(t) в виде:
, где . (3.55)
Итак, зная передаточные функции звеньев системы, можно алгебраическим путем найти общее дифференциальное уравнение замкнутой системы. В этом состоит одно из важных практических преимуществ использования аппарата передаточных функций. Фигурирующие здесь операторные многочлены K·M(р) и Q(р) соответствуют числителю и знаменателю передаточной функции разомкнутой цепи W(S), а операторный многочлен R(p) зависит от места приложения возмущающего воздействия f(t).
Дифференциальное уравнение замкнутой системы (3.55) записывают в виде:
D(p) ·y(t)=K·M(p)·g(t) + R(p) ·f(t), где D(p) = K·M(p)+Q(p)
Характеристическое уравнение замкнутой системы: D(S)=0. (3.56)
Корни Si (i=1,2,3….n) этого характеристического уравнения равны полюсам Si передаточной функции замкнутой системы (3.49). Порядок дифференциального уравнения замкнутой системы (3.45) определяется степенью n многочлена Q(р).
В развернутом виде уравнение динамики замкнутой системы можно записать в виде:
. (3.57)
Уравнение замкнутой системы может быть записано и иначе – в виде системы уравнений первого порядка – в нормальной форме Коши:
(3.58)
В правые части не обязательно входят все n переменных, поэтому некоторые коэффициенты здесь будут нулями, в некоторые уравнения добавятся справа еще задающее g(t) и возмущающее f(t) воздействия.
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:
или в развернутом виде
. (3.59)
Переменные yi называют координатами состояния системы. Их число равно общему порядку системы n. Они необязательно все соответствуют реальным физическим величинам воздействий между звеньями системы. Часть из них вводится искусственно. Это фактически координаты математической модели системы.
Система уравнений (3.58) может быть записана в матричной форме
,
а характеристическое уравнение соответственно в виде
;
где y – вектор-столбец всех координат состояния, А – матрица коэффициентов, Е – единичная матрица, т.е.
, ,
Во многих случаях структурная схема замкнутой системы является многоконтурной, содержит различные перекрещивающиеся связи. В этом случае для вычисления передаточной функции многоконтурной системы необходимо прежде всего перестановкой и переносом узлов и сумматоров освободиться от перекрещивающихся связей. Затем, используя первые три правила преобразования структурных схем (правила определения передаточных функций последовательного, параллельного соединения звеньев, звена, охваченного обратной связью), преобразовать ее в одноконтурную систему, передаточные функции которой – и легко вычислить. Следует иметь в виду, что при преобразовании структурной схемы нельзя переносить сумматор через точку съема выходного сигнала.
Приведем пример определения передаточных функций системы (рис. 3.16):
Рис. 3.16. Структурная схема САУ
Перенеся и переставив сумматоры, приведем схему к многоконтурной без перекрещивающихся связей (рис. 3.17):
Рис. 3.17. Преобразованная структурная схема САУ
Заменим параллельно соединенные звенья и звено, охваченное обратной связью, эквивалентными звеньями с передаточными функциями
, .
Получим одноконтурную схему (рис.3.18)
Рис. 3.18. Одноконтурная структурная схема САУ
Согласно правилам вычисления передаточных функций одноконтурных систем имеем:
,
,
,
.