МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и науки РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Тольяттинский государственный университет

Кафедра “Высшая математика и математическое моделирование”

С. Ш. ПАЛФЁРОВА, С.В. Пивнева, Г.В. Купцова

Функции нескольких переменных

Методическое пособие

Тольятти 2004

УДК 517.518.15(076)

ББК 22.161.1

П14

Утверждено Научно-методическим советом факультета математики и иинформатики Тольяттинского государственного университета

Научный редактор:

доктор педагогических наук, профессор Ю. К. Чернова.

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, директор Физико-технического института Тольяттинского государственного университета, профессор А. А. Викарчук ;

доктор педагогических наук, проректор по научной и инновационной работе Сызранского филиала Самарского государственного университета, доцент В. П. Сухинин.

П14. Палфёрова С.Ш., Пивнева С.В., Купцова Г.В. Функции нескольких переменных / Под науч. редакцией Ю.К. Черновой. – Тольятти: ТГУ, 2004. – 53 с.

Разработаны варианты индивидуальных домашних заданий.

 Палфёрова С.Ш., Пивнева С.В., Купцова Г.В.

Тольяттинский государственный университет, 2004.

Вариант № 1.

1. Найти и для функций:

а) ; б) ; в) .

2. Найти для функции .

3. Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению .

4. Найти и для функции .

5. Найти для функции , где x=sin²t, y=cos²t.

6. Найти и для функции , где , .

7. Вычислить dz и d²z от функции z = f(x, y) в точке М₁ при переходе в точку М₂ , если , М₁(0; 1), М₂(-0,1; 0,99).

8. вычислить приближенно с помощью дифференциала выражение .

9. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

10. Вычислить производную функции в точке в направлении к точке . В каком направлении при переходе через точку А скорость возрастания функции наибольшая? Найти эту скорость.

11. Найти экстремумы функции .

12. Найти экстремум функции при условии .

13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике с вершинами , , .

Вариант № 2.

1. Найти и для функций:

а) ; б) ; в) .

2. Найти для функции .

3. Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению .

4. Найти и для функции .

5. Найти для функции , где x=sin²t, y=cos²t.

6. Найти и для функции , где , .

7. Вычислить dz и d²z от функции z = f(x, y) в точке М₁ при переходе в точку М₂ , если , М₁(1; 0), М₂(0,9; 0,1).

8. вычислить приближенно с помощью дифференциала выражение .

9. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

10. Вычислить производную функции в точке в направлении к точке . В каком направлении при переходе через точку А скорость возрастания функции наибольшая? Найти эту скорость.

11. Найти экстремумы функции .

12. Найти экстремум функции при условии .

13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике с вершинами , , .

Вариант № 3.

1. Найти и для функций:

.а) ; б) ; в) .

2. Найти для функции .

3. Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению .

4. Найти и для функции .

5. Найти для функции , где x=sin²t, y=cos²t.

6. Найти и для функции , где , .

7. Вычислить dz и d²z от функции z = f(x, y) в точке М₁ при переходе в точку М₂ , если , М₁(0; 0), М₂(0,1; -0,1).

8. вычислить приближенно с помощью дифференциала выражение .

9. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

10. Вычислить производную функции в точке в направлении к точке . В каком направлении при переходе через точку А скорость возрастания функции наибольшая? Найти эту скорость.

11. Найти экстремумы функции .

12. Найти экстремум функции при условии .

13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике с вершинами , , .

Вариант № 4.

1. Найти и для функций:

а) ; б) ; в) .

2. Найти для функции .

3. Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению .

4. Найти и для функции .

5. Найти для функции , где x=sin²t, y=cos²t.

6. Найти и для функции , где , .

7. Вычислить dz и d²z от функции z = f(x, y) в точке М₁ при переходе в точку М₂ , если , М₁(1; 1), М₂(1,1; 0,9)

8. вычислить приближенно с помощью дифференциала выражение .

9. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

10. Вычислить производную функции в точке в направлении к точке . В каком направлении при переходе через точку А скорость возрастания функции наибольшая? Найти эту скорость.

11. Найти экстремумы функции .

12. Найти экстремум функции при условии .

13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике с вершинами , , .