- •1. Предел последовательности
- •2. Бесконечно малое. Свойства
- •3. Теоремы о пределах
- •4. Предел функции
- •5.Число е
- •6.Предел sin(X)/X (Замечательный предел)
- •8.Непрерывность функции. Разрывы
- •9.Производная. Определение и геометрический смысл.
- •14. Правило Лопиталя
- •15. Возрастание и убывание функции
- •16.Экстремумы.
- •17. Асимптоты.
- •18. Первообразная. Неопределённый интеграл.
- •27. Интегрирование тригонометрических функций
- •33. Несобственный интеграл от разрывных функций
- •34. Приложение определённого интеграла
1. Предел последовательности
Последовательностью называется занумерованное бесконечное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров (х1, х2, х3…)
Формула, задающая член последовательности с номером n, называется общим членом.
Определение 1: число а называется пределом последовательности {хn}, если члены этой последовательности становятся сколь угодно близки к числу а для всех достаточно больших номеров n.
Определение 2: число а называется пределом последовательности {хn}, если для любого сколь угодно малого числа ε>0 найдётся N, такое, что |xn-a|≥ε, если n≥N.
ε-окрестностью числа а называется множество точек, удовлетворяющих неравенству |х-а|≤ ε и отстоящих от а не больше, чем на ε.
2. Бесконечно малое. Свойства
y=f(x) называется бесконечно малой при x→a, или бесконечно малой в точке a, если
Основная теорема о бесконечно малых:
Функция y=f(x) имеет число A своим пределом в точке x=a тогда и только тогда, когда f(x)=А+α(x), где α(x) – бесконечно малое в точке x=a.
Доказательство:
1) Пусть . Докажем, что f(x)=A+α(x)
α(x)=f(x)-A
Пусть f(x)=A+α(x), тогда
Свойства бесконечно малых:
1) Если α(x) и β(x) – б.м. при x→a, то α(x)+β(x) – б.м. при x→a.
Доказательство:
2) Если |f(x)|≤M, α(x) - бесконечно малое, то f(x)*α(x)=бесконечно малое (при x→0).
3) Если g(x)>M>0, а α(x) – б.м., то α(x)/g(x) – б.м..
3. Теоремы о пределах
1) {хn}, {yn}, {zn} – три последовательности. хn <yn <zn Тогда если , то
Доказательство: xn-a≤yn-a≤zn-a. xn-a и zn-a стремятся к 0, значит, и yn-a→0
2) Если последовательность {хn} является возрастающей и ограниченной сверху, то она имеет конечный предел.
Последовательность {хn} называется возрастающей, если х1≤х2≤х3≤ хn
Аналогично – убывающая.
Последовательность {хn} называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что xn≤M для всех номеров n.
Аналогично – ограниченная снизу.
4. Предел функции
Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке, содержащем точку a, всюду, кроме, может быть, самой этой точки a.
Определение 1: число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если значения функции f(x) сколь угодно близки к числу A для всех значений x, достаточно близких к точке a.
Определение 2: число A является пределом функции y=f(x) в точке a, если для любого ε>0 найдётся Δ>0 такое, что для 0<|x-a|<Δ выполняется |f(x)-a|< ε.
Определение 3: число A является пределом функции y=f(x) в точке a, если |f(x)-A|< ε для x, лежащих в достаточно малой Δ-окрестности точки a.
5.Число е
Число е (exp) – иррациональное число, служащее основанием натуральных логарифмов. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная приблизительно = 2.71… , является пределом выражения (1/ ), при П стремящимся к бесконечности.
6.Предел sin(X)/X (Замечательный предел)
1)
Пусть x (0;π/2). OC=1, AB=sinx, CD=tgx.
ΔOAC<сектораOAC<ΔODC.
SΔAOC=1/2AB*OC=1/2sinx
Sсект=1/2R* COA=1/2x
SΔODC=1/2DC*OC=1/2tgx
ΔOAC<сектораOAC<ΔODC, =>,
1/2sinx <1/2x <1/2tgx, =>, sinx<x<tgx
x≠0 1<x/sinx<1/cosx, =>, cosx<sinx/x<1
Поскольку , то .
2)
Un= . U1=2. U2=9/4. U3=64/27
Последовательность возрастает, и она ограничена 3. Предел = e.
3)
7. Предел loga(1+x)/x и a^x-1/x