- •Формула вычисления криволинейного интеграла 2-го рода. Пример.
- •2. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования(док).
- •3. Потенциальное поле, условие потенциальности в односвязной области на плоскости. Связь с независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •4. Криволинейный интеграл l-го рода, его механический смысл. Вычисление, пример.
- •5. Поверхностный интеграл 1-го рода, его механический смысл. Вычисление. Те- орема существования.
- •7. Вычисление поверхностного интеграла 2-города.
- •8.Дивергенция векторного поля, Формула Остроградского-Гаусса. Пример.
- •9.Ротор векторного поля, формула Стокса.
- •10. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Примеры. Необходимое условие
- •11.Свойства числовых рядов (док).
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (док). Пример.
- •Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Пример.
- •15.Функциональные ряды и их свойства.
- •16.Степенные ряды, теорема Коши-Адамара (без д-ва), Пример. Теорема о правильной сходимости степенного ряда (док).
- •17. Непрерывность суммы степенного ряда, почленное интегрирование и диффе- ренцирование степенного ряда (док) ..
- •18. Ряд Тейлора, теорема о разложении элементарных функций в ряд Тейлора.
- •Ряд Фурье. Теорема Дирихле о разложении функции в ряд Фурье. Пример.
- •20.Ряд Фурье для четных и нечетных функций, для 2l-периодических функций (док). Пример.
- •21. Дифференциальные уравнения l-го порядка. Основные определения, теорема существования и единственности. Пример .
- •22.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример.
- •23.Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Пример.
- •24.Линейные дифференциальные уравнения l-го порядка. Пример. Уравнения в полных дифференциалах. Пример.
- •25. Дифференциальные уравнения 2-го порядка.' Основные определения, теореме, существования и единственности. Пример.
- •6. Поток векторного поля через поверхность, поверхностный
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (док). Пример.
Опред: n=1Σ∞ an (1) –ряд наз-ся знакопеременным, если среди его членов есть как «+» так и «-» числа
Опред: Знакопеременный ряд (1) наз-ся значередующимся, если an- an-1<0 для любого ncN
U1- U2+ U3- U4…(2) Un >0
Если ряд (2) – знакочередующийся и Un ↓ => (Un+1 <= Un для любого n) Un→0 => (2) сход-ся S<= U1
Док-во РассмотримS2n=( U1- U2)+ ( U3- U4)+… ( U2n-1 - U2n) >=0 => S2n= U1(U2+ U3)( - U4 +U5) +…+ (-U2n-2 +U2n-1) - U2n <= U1 - U2n
Un→0 => U2n→0=> S2n<= U1 - U2n S2n + U2n <= U1 U2n<= M n limn→∞ U2n=0
limx→xof(x)=c =>f(x) огранич, т.е. |f(x)|<= M xc(xo-б, xo+б) xo=∞
S2n<= U1+M=> S2n→S(n→∞) S2n
S2n(n+1)>= S2n для любого n
limn→∞ S2n=S-конеч S>= U1
Пример: n=1Σ∞ (-1)n-1/n= 1 – 1/2 +1/3 -1/4+…+(-1)n-1/n +…- Un=1/n→0(n→∞)
Un+1=1/(n+1)<1/n= Un для любого n
Un+1< Un, т.е. Un↓ =>сход-ся
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Пример.
Для исследования на сходимость произвольных знакопеременных рядов полезна след теорема
Абсолютная сходимость ряда: n=1Σ∞ an = a1+ a2+… +an+ (1)
Если (1)- знакопеременный ряд и ряд n=1Σ∞ |an| (2) –сход-ся, то ряд (1) тоже сх-ся и наз-ся абсолютносходящимся.
Замечание: Если знакопеременный ряд сход-ся, то это не значит, что он сход-ся абсолютно.
Такие ряды, которые сход-ся, но не сход-ся абсолютно наз-ся условно сходящимися.
Пример: n=1Σ∞ (sin n)/n2 n=1Σ∞ |(sin n)/n2|(применим 1-ый признак ср-я)
(sin n)/n2<=1/n2 n=1Σ∞ 1/n2 –сх-ся =>сход-ся по 1-ому признаку срав-я =>абсолютно сход-ся
15.Функциональные ряды и их свойства.
Опред:Ряд Un(x)=U1(x)+ U2(x)+…+ Un(x)+…(1) [a,b], такой ряд наз-ся функциональным рядом
Опред: ] [a,b]с хо, если сод-ся числовой ряд n=1Σ∞ Un(xо), то будем говорить, что ряд (1) сход-ся в т. xо (xо-точка сход-ти ряда)
Множество всех точек сход-ти ряда(1) назовём областью сход-ти рядом
Опред: (1) наз-ся правильно сход-ся на [a,b], если для любого n выполнено нер-во Un(x) <=an для любогоxc[a,b], n=1Σ∞an – сх-ся
Сва-ва правильно сход-ся рядов:
Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b], то (1) абсолютно сход-ся для любого хоc[a,b]
Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b] и его члены Un(x) – непрер на [a,b] => S(x)= n=1Σ∞ Un(x) - непрер на [a,b]
Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b], Un(x) - непрер на [a,b], то
a∫b S(x)dx= n=1Σ∞( a∫b Un(x)dx)
В этом случае говорят, что ряд можно почленно интегрировать.
(1) сход-ся на [a,b]. S(x), Un(x) – непрер диффир на интервале (a,b), n=1Σ∞ Un’(x) – прав сход-ся на (a,b). Тогда существует S’(x)= n=1Σ∞ Un’(x)(т.е возможно почленное диффир ряда) при чём S’(x) непрер на (a,b).
16.Степенные ряды, теорема Коши-Адамара (без д-ва), Пример. Теорема о правильной сходимости степенного ряда (док).
Определение: n=1Σ∞ Cn(x-a)n = Co +C1(x-a)+ C2(x-a)2+…+ Cn(x-a)n+…(1) – называется степенным рядом ac R, Cn c R-коэффициентами степенного ряда Теорема Коши - Адамара: Для каждого степенного ряда (1) существует R с [0, ∞],что выполнено 2 условия:
1)Если |x-a| <R => (1)абсолютно сход-ся
2) Если |x-a| >R => (1)расходится
Если существует limn→∞ n√ |an|=l,то R=1/l {l= limn→∞|(an+1)/an|}
Теорема о правильной сходимости степенного ряда:
R>0=>для любого фиксированного r:0<r<R,ряд правильно сх-ся на [a-r;a+r]