5.2.2. Способы представления кодовых комбинаций
Широкое применение в теории кодирования нашло представление кодовых комбинаций в виде векторов некоторого векторного пространства или многочленов от формальной неизвестной х. Для двоичных кодов такое соответствие устанавливается следующим образом:
,
или
,
где аi
– элемент кодовой комбинации;
opm
n-мерного
векторного пространства; х –
формальная переменная.
Таким образом, множество кодовых комбинаций n – элементного кода можно представить либо совокупностью векторов n-мерного векторного пространства, либо совокупностью многочленов, степень которых не старше n – 1. Такое представление дает возможность ввести действия над кодовыми комбинациями, аналогичные действиям над векторами или многочленами и использовать для построения корректирующих кодов алгебраические системы, описанные выше. Так, например, по аналогии с операциями над векторами n – мерного векторного пространства определим правило сложения двух n – элементных кодовых комбинаций следующим образом:
В этом случае, когда элементами кодовой комбинации являются двоичные элементы 0 и 1, то результирующая кодовая комбинация получается путем поразрядного сложения по модулю 2 исходных комбинаций.
Умножение кодовой комбинации на скаляр (двоичный элемент) определим правилом
Под скалярным произведением двух кодовых комбинаций длины n будем понимать скаляр (двоичный элемент), получаемый следующим образом:
Если скалярное произведение двух кодовых комбинаций равно 0, то такие кодовые комбинации будем называть ортогональными.
5.2.3. Определение группового кода
Групповым кодом называю такой код, множество кодовых комбинаций которого образует группу (подгруппу) по операции поразрядного сложения по модулю 2
Если в кодовой комбинации группового кода известны места информационных и избыточных элементов, то такой групповой код называют систематическим. В систематических кодах введение избыточности в кодовые комбинации осуществляется на основе связи между информационными и избыточными элементами. Название “систематический” коду дано вследствие того, что связь между информационными и избыточными элементами задается в виде систем линейных соотношений. Итак, систематический код – это разделимый групповой код. Групповая структура кода обеспечивает ему ряд важных свойств.
Свойство 5.1. Минимальное кодовое расстояние группового кода равно минимальному весу его ненулевых кодовых комбинаций.
Действительно, кодовое расстояние между комбинациями определяется как вес суммы двух комбинаций. В силу свойства замкнутости сумма двух комбинаций также является кодовой комбинацией, т.к. таблице кодовых расстояний группового кода однозначно соответствует таблица весов кодовых комбинаций данного кода, а раз так, то и минимальному кодовому расстоянию в групповом коде соответствует ненулевая кодовая комбинация с минимальным весом.
Другие важные свойства, обусловленные групповой структурой кодов, будут изучены в связи с матричным описанием этих кодов.
Для групповых кодов существует специальное обозначение (n, k) – код, где n - длина кодовой комбинации, k - число информационных элементов.