- •1. Цели дисциплины «Сопротивление материалов»
- •7. Растяжение и сжатие. Общие понятия.
- •8. Напряжения и перемещения. Закон Гука
- •9. Механические характеристики и свойства материалов
- •10. Допускаемые напряжения и запасы прочности
- •Запас прочности.
- •Коэффициент запаса.
- •11. Расчеты на прочность и жесткость статически определимых и статически неопределимых систем
- •12. Влияние собственного веса при растяжении и сжатии
- •13. Напряженное состояние при растяжении и сжатии
- •14. Напряжения в наклонных площадках при плоском и объемном напряженных состояниях. Обобщенный закон Гука
- •Частные случаи плоского напряженного состояния
- •Обобщенный закон Гука
- •15. Изгиб прямолинейного бруса. Общие понятия.
- •Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента
- •16. Типы опор и определение опорных реакций
- •17. Поперечная сила и изгибающий момент
- •18. Геометрические характеристики плоских сечений Общие сведения
- •Прямоугольник
- •Треугольник
- •19. Напряжения при изгибе. Расчеты на прочность
- •20. Определение перемещений при изгибе. Расчет на жесткость.
- •21. Кручение. Чистый сдвиг и его особенности
- •22. Кручение стержня круглого поперечного сечения
- •23. Расчеты на прочность и жесткость при кручении.
- •24. Напряженное состояние и разрушение при кручении.
- •Построение эпюр крутящих моментов
- •Рациональная форма сечения вала
- •Деформации при кручении и условие жесткости
- •25. Сложное сопротивление. Общие понятия.
- •Косой изгиб призматического стержня Совместное действие изгиба и растяжения или сжатия Внецентренное сжатие или растяжение.
- •26. Теории прочности.
- •Критерии разрушения
- •Гипотеза наибольших линейных деформаций (II теория прочности, Мариотт, 1682 г.)
- •Критерии пластичности
- •Гипотеза наибольших касательных напряжений (III теория прочности; Кулон, 1773 год)
- •Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности; Бельтрами - 1885 г.; Губер - 1904 г.)
- •Теория прочности Мора (V теория прочности)
- •Замечания о выборе теории прочности
- •27. Кручение с изгибом.
- •28. Косой изгиб.
- •29. Внецентренное растяжение-сжатие.
- •30. Устойчивость сжатых стержней (продольный изгиб). Основные понятия.
- •31. Формула Эйлера – вывод, предел применимости.
- •32. Эмпирические формулы для определения критических напряжений. Проверка сжатых стержней на устойчивость.
- •33. Понятие о динамических нагрузках. Удар. Основные понятия.
- •34. Горизонтальный удар.
- •35. Вертикальный удар. Удар от внезапной остановки движения.
- •36. Колебания систем с одной степенью свободы.
18. Геометрические характеристики плоских сечений Общие сведения
Как было показано выше, при растяжении и сжатии площадь поперечного сечения полностью характеризует прочность и жесткость стержня. Возьмем некоторое поперечное сечение бруса (рис. 4.1). Если представить себе сечение состоящим из бесчисленного м ножества площадок dF, то площадь всего сечения . Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения, имеет размерность L2. Отметим два важных свойства: площадь всегда положительна и не зависит от выбора системы координат.
При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции сечений, которые зависят не только от формы и размеров сечений, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются.
Рис.4.1
Статическим моментом Sx сечения относительно оси х называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида
, (4.1)
где у - расстояние от элементарной площадки dF до оси х.
Если отождествить площадь с силой, действующей перпендикулярно плоскости чертежа, то интеграл (4.1) можно рассматривать как сумму моментов сил относительно оси х. По известной из теоретической механики теореме Вариньона о моменте равнодействующей можно написать
, (4.2)
где площадь сечения F представляет собой равнодействующую, координата ус - плечо равнодействующей, с - центр тяжести сечения.
Аналогично, статический момент относительно оси у равен
, (4.3)
откуда следуют формулы для определения координат центра тяжести
(4.4)
Статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. В частности, относительно любых центральных осей (проходящих через центр тяжести С обозначаются хс, ус) статические моменты . Размерность статических моментов L3. Для сложного сечения, состоящего из n частей, выражения (4.2), (4.3) можно представить в виде
(4.5)
где - статические моменты i-й части сечения относительно осей х и у соответственно.
Таким образом, статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей сечения относительно той же оси.
Прямоугольник
Определим момент инерции сечения относительно оси х0, проходящей через центр тяжести прямоугольника высотой h и шириной b параллельно основанию (рис.4.5). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси х элементарную полоску высотой dу и шириной b. Площадь этой полоски dF=bdx, расстояние от полоски до оси х равно у. Подставим эти величины в выражение момента инерции относительно оси х (4.6):
. (4.11)
Аналогично, получим:
. (4.12)
Очевидно, что
Треугольник
Определим момент инерции треугольника относительно оси х1, проходящей через основание.
.
Элементарная площадка .
|
Из подобия треугольников получаем:
,
где b – основание треугольника, h – его высота.
Таким образом
Расстояние от основания треугольника до центра тяжести равно
.
По формуле переноса находим момент инерции относительно центральной оси х, параллельно основанию
.
Круг
Определим сначала полярный момент инерции относительно центра круга (рис.4.7). За dF примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной d , расположенного на расстоянии от центра к руга .
Тогда
Рис.4.7
(4.13)
Теперь определим осевые моменты инерции. Очевидно, что в силу симметрии ; но . Откуда
. (4.14)
Кольцо
Определим моменты инерции кольца, у которого R - наружный радиус, r - внутренний радиус (рис.4.8). Интегрируя полученное ранее выражение для полярного момента инерции в пределах от r до R, получим
Это выражение может быть представлено в виде
Рис.4.8
, (4.15)
где .
Соответственно