- •Глава 2. Кинематика
- •Раздел 5. Кинематика точки
- •5.1. Кинематические способы задания движения точки
- •5.2. Скорость точки
- •5.3. Ускорение точки
- •5.4. Естественные оси
- •5.5. Проекции вектора ускорения точки на естественные оси
- •Раздел 6. Простейшие движения твердого тела
- •6.1. Поступательное движение твердого тела
- •6.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси и кинематические характеристики этого движения
- •6.3. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •6.4. Векторные формулы для кинематических характеристик вращающегося твердого тела
- •Раздел 7. Сложное движение точки
- •7.1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки
- •7.2. Теоремы о сложении скоростей и о сложении ускорений
- •Раздел 8. Плоское движение твердого тела
- •8.1. Определения
- •8.2. Уравнения плоского движения
- •8.3. Скорости точек плоской фигуры
- •8.4. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры
- •8.5. Ускорения точек плоской фигуры
Глава 2. Кинематика
Раздел 5. Кинематика точки
Кинематика – раздел теоретической механики, в котором механическое движение материальных тел изучается с геометрической точки зрения и связь между движением и силами не рассматривается.
Кинематика является введением в динамику. Но она имеет и самостоятельное значение, как теоретическая основа кинематического исследования механизмов и машин. В курсе теоретической механики изучаются кинематика точки и кинематика абсолютно твердого тела.
5.1. Кинематические способы задания движения точки
Основной задачей кинематики точки является определение кинематических характеристик ее движения: траектории, т. е. линии, описываемой точкой в пространстве, скорости и ускорения. Но для этого необходимо задать движение точки, то есть уметь определять ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Существуют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.
Векторный способ. Пусть точка (рис. 1) движется относительно некоторой системы отсчета , условно принимаемой за неподвижную. Положение точки можно задать ее радиус-вектором , проведенным из начала координат . При движении точки радиус-вектор в общем случае изменяется по модулю и направлению, т. е. является вектор-функцией времени.
. (1)
Уравнение (1) позволяет в любой момент времени определить радиус-вектор (а значит положение точки ) и называется уравнением (или законом) движения точки в векторной форме. Траектория точки является геометрическим местом концов радиус-вектора , т. е. представляет собой годограф этого вектора.
Координатный способ. Положение точки в выбранной системе отсчета можно задать тремя ее координатами (рис. 1).
При движении точки ее координаты являются непрерывными функциями времени:
. (2)
Если точка движется в одной плоскости, например в плоскости , то будем иметь два уравнения движения:
. (3)
Прямолинейное движение точки определяется одним уравнением
. (4)
Уравнения (2), (3), (4) одновременно являются параметрическими уравнениями траектории (параметр – время ). Чтобы получить ее в виде зависимости между координатами, нужно исключить из уравнений движения (2)-(4) параметр .
Уравнения (2), (3), (4) вполне определяют положение точки в любой момент и поэтому называются уравнениями движения точки в декартовых координатах. Эти функции, отражающие реальный физический процесс, должны быть непрерывными, однозначными и дважды дифференцируемыми по времени.
Естественный способ. Этот способ применим в тех случаях, когда траектория точки заранее известна. Траектория рассматривается как криволинейная координатная ось. Положение точки на траектории определяется дуговой (криволинейной) координатой , отсчитываемой от некоторой неподвижной точки , выбранной за начало отсчета (рис. 1).
Положительное и отрицательное направления отсчета координаты устанавливаются как на обычной, т. е. прямолинейной, координатной оси. При движении точки ее дуговая координата есть функция времени.
. (5)
Это уравнение называется законом движения точки по траектории. Не следует отождествлять дуговую координату с путем, пройденным точкой по траектории, который всегда является положительной величиной.