6.3. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
С
корости
и ускорения точек вращающегося твердого
тела определяются кинематическими
характеристиками движения тела в целом
и положением точек в теле.
При вращении тела
вокруг неподвижной оси все
его точки описывают окружности,
плоскости которых перпендикулярны этой
оси, а центры лежат на ней. Рассмотрим
точку
тела (рис. 8), лежащую в полуплоскости
и находящуюся от оси вращения
на расстоянии
;
ее траектория – окружность радиуса
с центром
.
Покажем вид на траекторию точки
тела с положительного конца оси
(рис. 9).
Применим естественный способ задания движения точки. За начало отсчета дуговой координаты выберем точку , лежащую в неподвижной полуплоскости . Положительное направление отсчета соответствует положительному направлению отсчета угла поворота .
Положение точки
в данный момент времени
определяется соотношением
,
где значение
выражено в радианах.
Итак, уравнение движения точки по траектории имеет вид
.
(45)
Проекция скорости на касательную в соответствии с (14), получается путем дифференцирования уравнения (45) по времени
.
(46)
Вектор скорости направлен в сторону вращения тела по касательной к окружности и, следовательно, перпендикулярен к радиусу описываемой окружности (рис. 9).
Модуль скорости точки равен
.
(47)
М
одули
скоростей точек вращающегося тела
пропорциональны «радиусам точек», т.
е. расстояниям этих точек до оси вращения.
Эпюра векторов
скоростей точек, лежащих на радиусе
представлена на рис. 9.
Проекция ускорения точки на касательную (касательное ускорение) в соответствии с (36) равно
.
(48)
Модуль касательного ускорения равен
.
(49)
Модуль нормального
ускорения точки
равен
,
но
,
а для окружности
;
следовательно, имеем:
.
(50)
Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси (рис 10).
Касательное ускорение точки направлено по касательной в сторону вращения тела (рис. 10а), если вращение ускоренное, и в сторону, противоположную вращению тела, (рис.10б), если вращение замедленное.
Нормальное ускорение точки всегда направлено от точки к оси вращения тела (к центру описываемой точкой окружности).
Модули ускорений и пропорциональны расстояниям точек вращающегося тела до оси вращения.
Полное ускорение точки в соответствии с (27) равно , а его модуль равен:
(51)
Направление вектора
полного ускорения точки
определяется углом
,
образуемым вектором
с радиусом
.
Из рис. 10 видно, что:
.
(52)
В частном случае равномерного вращения тела имеем:
,
.
Полное ускорение направлено по радиусу к оси вращения от точки .
6.4. Векторные формулы для кинематических характеристик вращающегося твердого тела
Угловую скорость
и угловое ускорение можно рассматривать
как векторы
и
,
направленные вдоль оси вращения тела
(рис. 10). Проекции векторов
и
на ось
равны
.
(53)
Модули этих векторов представлены формулами (39), (44).
При ускоренном вращении векторы и направлены в одну сторону (рис. 10а); при замедленном - направления этих векторов противоположны (рис. 10б). Вектор всегда направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела представляется происходящим в направлении против хода часовой стрелки, то есть знаки и одинаковы.
Векторы и связаны зависимостью:
.
(54)
Далее приводятся векторные формулы для скоростей и ускорений точек вращающегося тела, вывод которых рекомендуется прочитать самостоятельно.
.
(55)
.
(56)
.
(57)
.
(58)
Вопросы для самопроверки к разделу 6
Дайте определение поступательного движения твердого тела.
Каковы свойства траекторий, скоростей и ускорений точек тела, движущегося поступательно?
Отличаются ли скорости и ускорения точек тела, движущегося поступательно, в случае прямолинейного и криволинейного движения тела?
Напишите уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Дайте определение угловой скорости и углового ускорения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Как определяются векторы и ?
Каковы условия равномерного и равнопеременного вращений твердого тела вокруг неподвижной оси?
Как определяются скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела?
Как располагаются точки твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси, скорости и ускорения которых: а) геометрически равны; б) равны по модулю?
Решите самостоятельно задачи: 13.4,13.15, 13.18,14.10 из [3] или [10].