- •1.Класичне означення імовірності події. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї.
- •2.Довести теорему суми імовірностей та 3 наслідки з неї.
- •3.Довести теореми (формула повної імовірності та формули Байєса.
- •4.Дискретні випадкові величини - двв. Закони розподілу ймовірностей для двв. Дії над двв
- •5.Математичне сподівання дискретної випадкової величини та його властивості. Довести (на вибір) три з них.
- •6.Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. Довести 3 з них на вибір. Середнє квадратичне відхилення.
- •8.Неперервні випадкові величини - нвв. Означення інтегральної функції розподілу та доведення її властивостей.
- •9.Означення диференціальної функції розподілу (щільності розподілу ймовірностей) та доведення її властивостей.
- •10.Означення нормального закону розподілу. Вивести формулу для імовірності попадання значень нормально розподіленої вв до заданого проміжку, наслідок. Правило «трьох сигм».
- •11.Закон показникового розподілу, або показниковий закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для показникового закону. Мс та дисперсія для показникового закону.
- •12.Закон рівномірного розподілу, або рівномірний закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для рівномірного розподілу ймовірностей. Мс та дисперсія для показникового закону.
- •13.Центральна гранична теорема.Муавр Лаплас
- •16.Корелят момент.Коефициент кореляції
- •17.Функц, статистична,та корелят залежності..
- •18.Коефіцієнт детермінації (r2)
- •1.Класичне означення імовірності події. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї.
- •2.Довести теорему суми імовірностей та 3 наслідки з неї.
5.Математичне сподівання дискретної випадкової величини та його властивості. Довести (на вибір) три з них.
Математичним сподіванням ДВВ Х називається сума добутків всіх її значень на відповідні імовірності, тобто .
Властивості:
1.МС сталої ВВ дорівнює самій цій сталій: М(с)=с.
Доведення. М(с)= за означенням = с*1=с.
-
Х=с
с
Р
1
2.Сталий множник виноситься за знак МС: М(сХ)=сМ(Х).
Доведення.
Х |
|
Р |
|
с*Х |
с* |
Р |
|
за означенням = С*М(Х)
3. МС суми ВВ дорівнює сумі їх МС: М(X+Y)=M(X)+M(Y)
Наслідок: М(X-Y)=M(X)-M(Y)
4.МС добутку (незалежних) ВВ дорівнює добутку їх МС: М(XY)=M(X)M(Y)
5.МС центрованої ВВ Х-М(Х) дорівнює нулю: М(Х-М(Х))=0.
Доведення. М(Х-М(Х))=0. За попередніми властивостями: М(Х-М(Х))=М(Х)-М(М(Х))=М(Х)-М(Х)=0. (похибки гасять одна одну, а їх квадрати - ні).
6.Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. Довести 3 з них на вибір. Середнє квадратичне відхилення.
Дисперсією ДВВ називається МС квадрата відхилення ВВ від свого МС, тобто:
Дисперсія (якщо вона існує) має розмірність квадрата ВВ, є невипадковою сталою невід’ємною величиною, що характеризує розсіювання значень ВВ від центру розподілу – МС. Для того, щоб мати аналогічну характеристику такої ж розмірності як сама ВВ, розглядають середнє квадратичне відхилення: . Властивості дисперсії. При вивченні курсу ми розглянули 7 властивостей:
1.Дисперсію можна знаходити за формулою: .
2.Дисперсія сталої дорівнює нулю: .
3.Сталий множник виноситься за знак дисперсії в квадраті: .
4.Дисперсія суми незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: .
Наслідок. Дисперсія різниці незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: .
Наслідок. Дисперсія центрованої ВВ та стандартизованої ВВ співпадають з
дисперсією самої ВВ .
5.Якщо ВВ та залежні, то: ,де - коефіцієнт коваріації ВВ.
6.Дисперсія добутку незалежних ВВ дорівнює: 7. Дисперсія середнього арифметичного взаємнонезалежних ВВ дорівнює: Доведемо три з них. Властивість 1: правило обчислення дисперсії
Доведення: За властивостями МС:
М[X-M(X)]2=M[X2-2X*M(X)+M2(X)]=M(X2)-M(2X*M(X))+M(M2(X))=M(X2)-2M2(X)+M2(X)=M(X2)-M2(X)
Властивість 2: За означенням D(С)=M(C-M(C))2=0.Дисперсія хар-зує розсіювання значень ВВ від центру розподілу – МС.
Властивість 3: .Доведення: D(CX)= за теор.=M(C2X2)-M2(CX)=за власт.МС=C2M(X2)- C2M2(X)=C2[M(X2)-M2(X)]=C2D(X).
7.Незалежні повторні випробування - НВП. НВП як випробування, проведені за схемою "повернених куль". Виведення формул для математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення частоти та відносної частоти в схемі незалежних повторних випробувань.
Якщо серію випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події в кожному окремому випробуванні однакова та не залежить від появи або непояви події в інших випробуваннях, то таку послідовність НПВ називають схемою Бернуллі.
Знайдемо числові характеристики біноміально розподіленої ДВВ . Розглянемо випадкові величини - частоту появи події у -тому випробуванні. Закони розподілу усіх цих ВВ однакові і мають вигляд:
-
0
1
q
p
Неважко переконатись, що числові характеристики цих ВВ:
= за властивостями МС =
.
ВВ - частість (частка, відносна частота) появи події у НПВ підкоряється біноміальному закону розподілу з числовими характеристиками