Свойства пределов функции
1) Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2) Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.
Расширенное свойство предела суммы:
Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:
4) Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
Расширенное свойство предела произведения
Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
5) Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
9. Определение 2.11 Первым замечательным пределом называется предел
Теорема 2.14 Первый замечательный предел равен
Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел также будет равняться 1.
Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью ( ). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.
Рис.2.27.Тригонометрический круг
Пусть -- площадь треугольника , -- площадь кругового сектора , а -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:
Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде
Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:
или (умножив на ) так:
Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.
Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству
при , получаем, что
|
(2.3) |
Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:
|
(2.4) |
Тем самым показано, что
Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит,
но ( -- нечётная функция), и поэтому
Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.
Доказанная теорема означает, что график функции выглядит так:
Рис.2.28.График
Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.
10. Определение 2.12 Вторым замечательным пределом называется предел
Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.
Теорема 2.15 Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между и .
Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:
Доказательство. Доказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру . При формула 2.2, очевидно, верна:
(Заметим, что при и формула 2.2 также хорошо известна:
и
Предположим, что она верна для , и докажем, что тогда она верна и при . Действительно,
При этом в квадратных скобках получается:
|
|
|
|
|
|
и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при .
11. Бесконечно малые функции
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть и — две функции, бесконечно малые в точке . Если , то говорят, что более высокого порядка малости, чем и обозначают . Если же , то более высокого порядка малости, чем ; обозначают . Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают . И, наконец, если не существует, то бесконечно малые функции и несравнимы.
??????
Б есконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х→α . Тогда говорят, что α — главная часть бесконечно малой функции g.
12.
(Анализировать и сформулировать вывод самому !)пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида ) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базы создадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.
13. Различные определения непрерывности функции в точке
Эквивалентность определений либо следует из эквивалентности определений конечного предела функции, либо может быть установлена.
Пусть . Тогда эквивалентны следующие определения непрерывности функции в точке.
Через пределы: ( – непрерывна в точке )
.
Определение по Коши (на языке ):
( – непрерывна в точке )
.
Определение через приращения.
Обозначим – приращение аргумента, – приращение функции в точке соответствующее . Тогда
( – непрерывна в точке ) .
Определение по Гейне (через последовательности).
( – непрерывна в точке )
.
Через односторонние пределы:
( – непрерывна в точке )
.