3. Умозаключение как форма мышления.
Суждения образуются в мышлении двумя основными способами:
1. Непосредственно (с помощью суждения выражается результат восприятия). Например, суждение «эта фигура – окружность».
2. Опосредованно (суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением). Например, «множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура – окружность».
В процессе такой мыслительной деятельности обычно осуществляется переход от одного или нескольких связанных между собой суждений к новому суждению, в котором содержится новое знание об объекте изучения. Этот переход и является умозаключением, которое представляет собой высшую форму мышления.
Итак, умозаключением называется процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений. Например:
«Диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника» (первое суждение).
«Сумма внутренних углов треугольника равна 180°» (второе суждение).
«Сумма внутренних углов параллелограмма равна 360°» (новое суждение-вывод).
Умозаключение
отличается (как форма мышления) от
понятия и суждения тем, что оно представляет
собой логическую операцию над отдельными
мыслями. Не всякое сочетание суждений
между собой представляет собой
умозаключение: между суждениями должна
существовать определенная логическая
связь. Например, из суждений «сумма
внутренних углов треугольника равна
180» и «
»
нельзя сделать вывод.
4. Математические предложения.
Умение правильно строить различные математические предложения имеет большое значение в системе математических знаний. Каждая математическая теория представляет собой множество предложений. Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками:
1. Предложение должно быть записано (или сформулировано) на языке данной теории, состоять из математических и логических терминов или символов и не содержать никаких других терминов или символов;
2. Предложение должно быть истинно, т.е. являться или исходным истинным предложением (аксиомой) данной теории, или его истинность устанавливается доказательством с помощью уже известных истинных предложений.
Например, предложение «Сумма углов всякого треугольника равна 180°» является геометрическим предложением, принадлежит теории евклидовой геометрии, потому что:
1. Оно записано на языке геометрии (хотя одновременно на русском языке), т. е. состоит из геометрических терминов («сумма углов», «треугольник», «180°») и логических терминов («всякого», «равна»).
2. Оно истинно, т.к. доказывается в рамках евклидовой геометрии, т. е. на основе ее аксиом или других уже доказанных предложений этой теории.
Такое предложение как «Прямая имеет вид туго натянутой нити» широко используется в школьных учебниках, однако оно не является математическим и не принадлежит никакой геометрической теории. Однако в процессе обучения нужно подчёркивать, что в доказательстве геометрических теорем мы имеем право пользоваться только геометрическими предложениями.