6. Методика обучения доказательству.
Поиск доказательства идёт стандартно двумя методами:
1. Анализ Паппа (восходящий анализ) – ведущим вопросом является вопрос: «Что достаточно знать, чтобы ответить на поставленный вопрос?».
2. Анализ Евклида (нисходящий анализ) – рассуждения начинаются так: «Временно предположим, что то, что нам нужно доказать, уже доказано. Что отсюда следует?».
Например, дана теорема (признак параллелограмма): «Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм».
1. Восходящий анализ.
1
.
Для доказательства того, что ABCD
– параллелограмм, достаточно доказать,
что BC
|| AD
и AB
|| DC.
2. Для доказательства параллельности сторон четырёхугольника достаточно доказать равенство накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.
3.
Такие накрест лежащие углы можно
получить, если провести диагональ АС:
и
,
и
.
4. Для доказательства равенства накрест лежащих углов достаточно доказать равенство треугольников АВС и СDA.
5. Для доказательства равенства данных треугольников достаточно установить справедливость равенств: BC=DA, AB=CD, AC=AC, а эти равенства выполняются (условие теоремы).
2. Нисходящий анализ.
1 . Пусть ABCD – параллелограмм.
2. Тогда BC || AD и AB || DC.
3. Проведём диагональ АС, тогда получим: = , = (как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей).
4. Из равенства накрест углов с учётом того, что АС – общая сторона следует равенство этих треугольников.
5. Тогда BC=DA, AB=CD, AC=AC, а эти равенства выполняются (условие теоремы).
Нетрудно теперь все рассуждения из нисходящего анализа провести в обратном порядке. В итоге получим синтетическое доказательство (результат поиска).
Чаще всего в школе учащимся предлагается именно синтетическое доказательство теорем, которое имеет ряд достоинств: исчерпывающая полнота, сжатость, краткость. Однако синтетический метод в методическом отношении имеет и свои недостатки. Остаётся неясным, как можно обнаружить такое доказательство, дополнительные построения никак не аргументируются. Учащиеся пассивно слушают и воспринимают такое доказательство, соглашаются с истинностью каждого умозаключения и не представляют, в каком направлении должны протекать дальнейшие рассуждения. Этот способ мало способствует самостоятельному открытию доказательства, и план рассуждений остаются скрытыми от учащихся.
В целом можно выделить 3 этапа работы над доказательством:
1. Подготовительный этап:
– повторение теорем (и их доказательств), связанных каким-либо образом с данной теоремой;
– выполнение практической работы, в ходе которой «открывается» метод доказательства теоремы;
– изучение и осмысление чертежа по содержанию теоремы;
– если возможно, разбиение теоремы на части или частные случаи и поиск доказательства отдельных частей;
– составление плана (схемы) доказательства (по необходимости).
2. Доказательство теоремы и её запись в соответствующей символике:
– доказательство ведётся поэтапно, все умозаключения логически обоснованы;
– доказательство теоремы кратко, сжато и записано в определённой символике.
3. Закрепление доказательства:
– обобщение метода доказательства и его основной идеи;
– выведение следствий из теоремы;
– на следующем уроке – доказательство при другом расположении чертежа;
– в домашней работе – превращение сокращённого книжного доказательства в развёрнутые цепочки умозаключений;
– доказательство теоремы другими методами (если это возможно);
– решение задач на доказательство с использованием данной теоремы и метода её доказательства;
– самостоятельное доказательство теорем, связанных с данной (обратной, противоположной, аналогичной).