35. Основні числові характеристики системи двох неперервних випадкових величин (х,у).

_________________________________

35. Ймовірність влучення випадкових точок у прямокутник.

Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник (a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так:

P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c).

Доведення.

Розглянемо такі випадкові події:

A = (X < b, Y < d); B = (X < a, Y < c); C = (a < X < b, Y < c); D = (X < a, c < Y < d); E = (a < X < b, c < Y < d).

Оскільки випадкові події B, C, D, E несумісні, маємо:

A = B  C  D  E.

P(A) = P(B  C  D  E) = P(B) + P(C) + P(D) + P(E).

P(x < b, y < d) = P(x < a, y < c) + P(a < x < b, y < c) + P(х < a, c < у < d) + P(a < x < b, c < y < d).

F(b, d) = F(a, c) + F(b, c) – F(a, c) + F(a, d) – F(a, c) + P(a<X<b,c<Y<d);

P(a<X<b,c<Y<d)=F(b,d)+F(a,c)–F(a, d) – F(b, c), що й треба було довести.

_________________________________

35. Функція 1-ого випадкового аргументу.

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у = (х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y =  (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

1) Нехай закон дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х = хi	x1	x2	............	xk
P(X = xi) = pi	p1	p2	.............	pk

Тоді закон розподілу випадкової величини Y = (х) матиме такий вигляд:

Y = α (хi)	α (х1)	α (х2)	..........	α (хk)
P(Y = α (хi) = рi	p1	p2	.........	pk

Умова нормування для f (у):

.

За знайденою f (у) функцією розподілу ймовірностей визначається

.

_________________________________

35. Математичне сподівання функції 1-ого випадкового аргументу.

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у = (х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y =  (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

Математичне сподівання дискретного випадкового аргументу

Математичне сподівання функцій неперервного випадкового аргументу:

;

_________________________________

35. Функції 2-х випадкових аргументів.

У загальному випадку функцію двох аргументів Х і Y можна позначити як

,

де є невипадковою функцією.

Якщо Х та Y є дискретними випадковими величинами, то і Z буде дискретною. Якщо Х та Y є неперервними, то і Z буде неперервною.

_________________________________

35. Математичне сподівання суми двох випадкових аргументів.

Математичне сподівання.

М (Х + Y) = М (Х) + М (Y). (1)

Висновок 1.

М(АХ+ВY+С)=АМ(Х)+ВМ(Y)+С.

А, В, С — деякі сталі.

Висновок 2.

.

_________________________________