Примеры с решениями

1. Перевод из p-ичной системы в 10-ичную. Пусть надо перевести число в некоторой системе счисления в десятичную. Для этого надо представить его в виде

.

11100110₂ = 1∙2⁷ + 1∙2⁶ + 1∙2⁵ + 0∙2⁴ + 0∙2³ + 1∙2² + 1∙2¹ + 0∙2⁰ = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 230₁₀.

2401₅ = 2∙5³ + 4∙5² + 0∙5¹ + 1∙5⁰ = 250 + 100 + 0 + 1 = 351.

2. Перевод из 10-ичной системы в p-ичную.

2.1 98₁₀ → Х₂.

Делим число на 2. Затем делим неполное частное на 2. Продолжаем до тех пор, пока неполное частное не станет меньше 2, т.е. равным 1.

1. 98 : 2 = 49. Остаток — 0.

2. 49 : 2 = 24. Остаток — 1.

3. 24 : 2 = 12. Остаток — 0.

4. 12 : 2 = 6. Остаток — 0.

5. 6 : 2 = 3. Остаток — 0.

6. 3 : 2 = 1. Остаток — 1.

Так как последнее неполное частное равно 1, процесс окончен. Записываем все остатки снизу вверх, начиная с последнего неполного частного, и получаем число 1100010. Итак 98₁₀ = 1100010₂.

2.2 2391₁₀ → Х₁₆.

Делим число на 16. Затем делим неполное частное на 16. Продолжаем до тех пор, пока неполное частное не станет меньше 16.

1. 2391 : 16 = 149. Остаток — 7.

2. 149 : 16 = 9. Остаток — 5.

Так как последнее неполное частное (9) меньше 16, процесс окончен. Записываем, начиная с последнего неполного частного, все остатки снизу вверх и получаем число 957. Итак 2391₁₀ = 957₁₆.

2.3 12165₁₀ → Х₂.

Если переводить делением в двоичную систему, то получится довольный громоздкий процесс. Можно сначала перевести число в восьмеричную систему, а затем заменять восьмеричные цифры справа налево триадами.

12165₁₀ = 27605₈ = 010 111 110 000 101 = 10111110000101.

3. Определение основания системы счисления p.

Один мальчик так написал о себе: «Пальцев у меня 24, на каждой руке по 5, а на ногах 12». Как такое может быть?

Решение. Надо определить основание системы счисления p. Так как мы знаем, что пальцев на ногах всего 10₁₀, то 12_p=1∙p+2 = 10₁₀. Отсюда получаем уравнение p + 2 = 10  p = 8. Значит, мальчик имел в виду числа в восьмеричной системе. Действительно, всего пальцев 24₈ = 2∙8+4 = 20₁₀, а на ногах — 12₈ = 1∙8+2 = 10₁₀.

Задания

1. Переведите следующие двоичные числа в десятичную систему счисления.

а) 1002;

б) 1111002;

в) 11012;

г) 111112;

д)10000002.

2. Переведите следующие десятичные числа в двоичную систему счисления.

а) 1710;

б) 2010;

В) 3610;

г) 30010;

д) 1511210.

3. Запишите текущий год в двоичной системе счисления.

4. Запишите в троичной системе счисления год своего рождения.

5. Составьте таблицу, в которой перечислены все десятичные, двоичные и шестнадцатеричные числа от 0₁₀ до 32₁₀.

6. Составьте таблицу сложения размером 16 ´ 16 для восьмеричной системы счисления (строки и столбцы соответствуют восьмеричным цифрам от 0 до 7).

7. Решите следующие задачи:

1. Один иностранец из государства, где окончательно победила компьютерная революция, хвастал в письме одной девушке, что зарабатывает 110 000 долларов в месяц, что апартаменты у него общей площадью 10 100 кв. м, и счет в банке — 100 000 000 долларов. Девушка была с умом и поняла, что все это в двоичной системе. Сколько же это на самом деле?

2. Представьте себе, что вы договорились продать фирме из государства Хексландия партию модемов — 1000 штук по 50 долларов. А в этой стране тоже победила компьютерная революция, правда с человеческим лицом — там принята шестнадцатеричная система счисления. У них ходит своя валюта — хексы. Курс хекса к доллару 1:1. Человек из этой фирмы, недавно иммигрировавший в Хексландию, расплатился с вами купюрами, изображенными на Рис. 3, которые вы затем спокойно меняете на доллары. Какова ваша неожиданная дополнительная прибыль?

Рис. 3. Купюра в Хексландии

3. Как-то раз попали наши путешественники в одну далекую страну и разговорились с одним почтенным отцом семейства. Много детей, рассказал он, у него — 20 сыновей и 12 дочерей. Всего детей — 102, а лет ему — 1200. Сколько у него детей и каков его возраст? Указание. См. пример 3.

8. Чему равно наибольшее неотрицательное целое число, кодируемое 8 битами?

9. Пересчитайте в мегабайты: 10240 Кб, 1024000 Кб, 10 Гб, 1000 Гб.