Задача 5.2

Рассчитать статистически неопределимую плоскую раму, указанную на рис. 6а и подобрать двутавровое сечение при [  ]  160 МПа. Жесткости элементов рамы считать одинаковыми, длины элементов а  6.0 м; внешняя нагрузка q  30 Кн/м

РЕШЕНИЕ

Решение задачи 5.2 рассмотрим на примере два раза статически неопределенной балки, представленной на рис. 6а. Основную систему (рис. 6а) выбираем постановкой шарниров над всеми промежуточными опорами и в защемлении. Опорам присваиваем порядковые номера 0 – в защемлении, далее 1, 2,…. Индекс в обозначении длины пролета l_n соответствует порядковому номеру правой опоры.

Со стороны защемления добавляем пролет нулевой длины l_o; консоль отбрасываем, определив величину изгибающего момента на опоре у консоли как сумму моментов усилий, приложенных к консоли.

Для пролетов l₁ и l₂ необходимо построить эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки, рассматривая каждый пролет как балку на двух опорах.

Пролет 1–1 (рис. 6)

Опорные реакции

R_a =R_b =

Q_z =R_a – g_z.

Q_a = 4 кН; Q_b = – 4 кН.

Эпюра Q описана прямой, которая строиться по двум точкам (рис.6б)

M_z = R_a ∙z – q

Рисунок 6.

Уравнение моментов представляет собой уравнение квадратной параболы, которую строим по трем точкам:

При z = 0 , M_a = 0;

При z = 4м, M_b=4∙4 – 4 = 0.

Эстремальное значение момента при z = z_o

значение z_o определяется из условия

,

M_max = R_a∙z – q

Площадь грузовой опоры моментов

₁ =

Центр тяжести эпюры располагается по середине пролета

а₁ = в₁ = 2м.

Пролет 2–3 (рис.6)

Опорные реакции – R₁ = R₂ =

Пролет имеет два участка, при отсутствии распределенной нагрузки эпюра поперечных сил очерчена прямой, параллельно оси, на эпюре моментов – наклонные прямые.

Q=R₁= –

Первый участок 1–А

М₁=0; M_a=R₁ ∙ 3= – 4кНм.

Второй участок А–2

M_a = R₁∙3 + M = 4кНм, M₂=R₁∙6 + M = 0.

Эпюры Q и M для второго пролета представлены на рис.6, в, б.

Площадь эпюры моментов в пролете состоит из двух составляющих

W₂₁=– W₂₂=

Положение центров тяжести площадей

A₂₁= ; В₂₁= ;

A₂₂=6 – ; В₂₂= 6 – 4 = 2м.

Из построенных эпюр изгибающих моментов составлена грузовая эпюра моментов для балки в целом (рис. 6в)

Для опор 0 и 1 составляем уравнение трех моментов (для балки три раза статически неопределимой составляется три уравнения трех моментов)

При n = 0

при n = 1

Подставляя известные величины в полученные уравнения, запишем

Или

Решая систему линейных уравнений с двумя неизвестными, получим:

М_о= – 6,39 кНм; М₁ = 4,78 кНм.

Найденные значения моментов проверяются подстановкой во все уравнения трех моментов.

Далее каждый пролет может быть заново рассчитан как балка на двух опорах при действии на нее внешней нагрузки и известных опорных моментов или же окончательная эпюра поперечных сил может быть построена смещением грузовой эпюры Qp на величину

В каждом пролете (n – порядковый номер пролета). В этом случае окончательную эпюру изгибающих моментов следует строить по ординатам в характерных сечениях, которые подсчитываются по формуле

Здесь n – порядковый номер пролета;

М_n–1 – момент на левой для пролета опоре;

z – координата сечения, отсчитанная от левой опоры данного пролета;

М_р – момент в данном сечении на грузовой эпюре моментов.

Моменты в опорных сечениях определены ранее из решения уравнений трех моментов.

К построению эпюры поперечных сил:

Ординаты эпюры поперечных сил в первом пролете изменяются на 2,79 кН ( см. ординаты 6,79 и 1,21 ; рис. 6д)

Для второго пролета

Q= – 1,33 – 3,30= – 4,63kH.

Поперечная сила на консоли определяется из равновесия правой отсеченной части

Q= –

Изгибающие моменты в характерных сечениях:

М_о= – 6,39 кНм

М₁ = 4,78 кНм

М_А1= 4,78 – 3,30∙3 – 4 = – 9,12 кНм;

М_А2= 4,78 – 3,30∙3+4 = – 1,12 кНм;

М₂ = – 15кНм

М_В = 0

Определение максимума момента в первом пролете:

Окончательная эпюра поперечных сил и изгибающих моментов показаны на рис. 6д и 6е соответственно. Опорные реакции могут быть подсчитаны по величине скачков на эпюре Q в опорных сечениях

Отрицательная реакция на первой опоре направлена сверху сниз.

Для балки рис. 7 должны удовлетворяться уравнения равновесия (статическая проверка правильности расчета).

Рисунок 7

Σ Р_у = 6,79 - 2,4 - 3,42 + 14,63 - 10=0; 0=0

Σ М_о = 6,39 - 2∙4∙2 – 3,42∙4 – 8 + 14,63∙10 ­­– 10∙11∙5 =0.

Деформационная проверка правильности расчета может быть выполнена как перемножение окончательной эпюры моментов на единичные эпюры от действия М_о= 1 и М₁=1 раздельно, так и подсчетом прогибов в сечениях на опорах 1 и 2.

После проверки правильности расчета выявляется опасное сечение. В примере ­ это сечение над второй опорой (М = 15 кНм). По наибольшему изгибающему моменту следует подобрать сечение из условия прочности при изгибе.

Необходимая величина момента сопротивления сечения

Сечение составлено из двух швеллеров, т.е. для одного швеллера необходимый момент сопротивления

W_x =

Принимаем сечение из двух швеллеров № 33 с W_x = 2484 = 968 см³.

Проверка прочности

Недонапряжение составляет

- что допустимо

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению расчетно-графической работы № 6

“Расчеты на устойчивость и динамическое

воздействие нагрузки”

Задача 6.1

Составная стойка длиной l = 6м, шарнирно закрепленная одним и защемленная другим концом, сжимается сосредоточенной силой Р= 500 кН, действующей вдоль оси, проходящей через центр тяжести сечения стержня. Материал стойки ­­­– сталь ­марки Ст.3. Сечение составлено из двух швеллеров полками во внутрь сечения. Допустимое напряжение на сжатие [ σ ]= 150 МПа

Необходимо:

1. Произвести выбор размеров сечения.

2. Определить расстояние между ветвями.

3. Определить размеры планок и расстояний между ними.

4. Произвести проверку местной устойчивости одной ветви между стойками.

5. Определить критическую силу и коэффициент запаса.

РЕШЕНИЕ

Решение данной задачи заключается в расчете на устойчивость составной стойки (колонны). Составные стойки обычно состоят из двух или нескольких отдельных ветвей (стержней), соединяемых между собой по высоте планками.

Задача решается путем последовательного приближения, вследствие того, что в условии прочности два неизвестных – коэффициент продольного изгиба φ и F.

1-е приближение.

Задаемся средним значением коэффициента продольного изгиба:

φ = 0.5 и определяем площадь сечения стойки

Рисунок 8.

Для одной ветви (стержня)

.

По таблицам сортамента прокатной стали подбираем для стойки 2 швеллера № 24а с площадью поперечного сечения 32,9 см Выбираем из таблицы все необходимые данные.

I_x= 3160 см ; i_x= 9,8 cм.

Определяем гибкость

По таблице находим φ= 0,91, что существенно отличается от 0,5

2-е приближение.

Задаемся значением коэффициента

φ =

отсюда

F=

Для одной ветви

F= .

По таблице сортамента выбираем 2 швеллера № 20 ( F = 23,4 см ; i_x= 8,07 cм )

Гибкость

λ=

По таблице значению λ= 52,04 соответствует коэффициент продольного изгиба φ= 0,88, что существенно отличается от φ= 0,70.

3-е приближение.

φ=

F=

Для одной ветви

F=

По таблице сортамента подбираем швеллер № 18 с F = 20,7 cм ; i_x=7,24 см

λ=

Данному значению λ соответствует φ= 0,87, что отличается от φ= 0,79.

4-е приблтжение.

φ=

F

Для одной ветви

F=

По таблицам сортамента подбираем швеллер № 16а (F= 19,5 см ; i_x= 6,49 см)

λ=

Этому значению λ соответствует φ= 0,84, что мало отличается от φ= 0,87

Определим условное напряжение

σ =

Перенапряжение составляет

Что вполне допустимо. Для инженерных расчетов допустимо отклонение от [σ] на 5 %

Окончательно принимаем:

2[№ 16 ; F ^[= 19,5 см ; F = 2 F ^[ = 35 см ;

z₀ = 2,00 см³ ;

; i_x= 6,49 см

i_y= 2,01 см

2. Определение расстояния между ветвями.

Так как соединение ветвей планками не может быть абсолютно жестким, то принимает I_y= 1,2 I_x

Отсюда имеем

Из рис.8 видно, что

A=2∙(c + z₀) = 2∙(6,83 + 2,00) = 17,66 см

Исходя из конструктивных соображений принимаем а = 18 см

3. Определение размеров планок и расстояния между ними.

Ширина соединительных планок находится по следующей зависимости:

h ≈ 0,7a = 13 см.

Длина планки берется на 3-4 см меньше ширины стойки

d = а – 3 = 18 – 3 = 15см.

Толщина планок принимается на 1-2 см больше толщины полок швеллеров:

Расстояние между планками находится из выражения:

4. Проверка местной устойчивости одной ветви между планками.

Проверка местной устойчивости осуществляется для одной ветви на длине l_b=70см.

Швеллер на участке между планками можно считать шарнирно закрепленным по концам. Усилие в швеллере равно

Наименьший радиус инерции швеллера № 16 i_y= 2,01 cм

Гибкость ветви при длине 70 см и шарнирном закреплении концов

Данному значению гибкости стойки соответствует значение коэффициента продольного изгиба φ = 0,93

Условное напряжение

Значит местная устойчивость ветвей является достаточной.

5. Определение критической силы и коэффициента запаса.

Критическая сила в зависимости от гибкости вычисляется по одной из следующих формул:

а) по формуле Ясинского

при λ < 100

б) по формуле Эйлера

при λ ≥ 100.

В нашем примере λ = 64,71 < 100 , значит вычисления производим по формуле Ясинского.

Значение коэффициента а и в берут из справочных таблиц.

Для малоуглеродной стали.

Коэффициент запаса

Задача 6.2

Дано: Двигатель весом 4200 Н с числом оборотов n = 600 об/мин установлен на балке длиной l= 2м. Двигатель создает вследствие неуравновешенности ротора силу инерции Р = 2000 Н (рис. 9).

Определить величину наибольшего нормального напряжения в балке без учета ее собственного веса. Сечение балки I № 24

Рисунок 9.

Решение:

1. Определим частоту собственных колебаний

;

где g – ускорение свободного падения;

f_ст – прогиб от статической нагрузки.

Его можно найти любым методом, например, методом начальных параметров

EJf = EJvВ =

Окончательно получим

;

.

2. Частота вынужденных колебаний

3. Определим коэффициент нарастания колебаний и динамический коэффициент

4. Вычислим наибольшие нормальные напряжения в балке

σ_g= K_g σ_ст = 2,38 ∙29,1 = МПа < [σ ]

10