Дифференциальные уравнения

По данной теме сначала изучите § 24-30 гл. 8[3] или § 1, 7 гл. 10[7]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки. Решите следующие задачи: [3], гл. 8, § 24, № 8.1-8.35 или [7], гл. 10, № 1-89.

Из контрольной работы 6 выполните пятое задание своего варианта.

Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения где искомая неизвестная функция - ее производная по заданная функция переменных .

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от и производной постоянной , обращающая это уравнение в тожество по .

Общее решение, записанное в неявном виде называется общим интегралом.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении фиксированное число.

Частным интегралом уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении .

График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению (и общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра.

Задача нахождения частного интеграла дифференциального уравнения -го порядка ( , удовлетворяющего начальным условием вида , называется задачей Коши.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальному условию Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая проходит через данную точку (

Пример 1. Составить уравнение кривой , если угловой коэффициент касательной, проведенный в любой точки кривой, равен .

Решение. Так как на основании геометрического смысла производной , то получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Чтобы найти искомую функцию , надо проинтегрировать обе части уравнения . Отсюда получим общее решение дифференциального уравнения: . Геометрически это решение представляет собой семейство парабол с вершиной на оси , симметричных относительно этой оси.

Чтобы из общего решения выделить частное решение, надо задать начальные условия. Пусть ; тогда общее решение примет вид , откуда . Геометрически частное решение представляет собой параболу, проходящую через точку (1,-1).

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Общий вид такого уравнения

,

Где - функции только от х, - функции только от у.

Поделив обе части уравнения на произведение , получим уравнение с разделенными переменными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Замечание. Если произведение при и , то функции и являются решениями дифференциального уравнения при условии, что при значениях х и у уравнение не теряет числового смысла. Геометрически эти решения представляют собой прямые, параллельные осям координат.

Пример 2. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию у=4 при х=-2.

Решение. Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения:

Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде . Тогда

Подставив в общее решение значения у=4 и х=-2, получим 16=4+С, откуда С=12.

Итак, частное решение уравнения, удостоверяющее данному условию, имеет вид

Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение. Так как , то , откуда

Разделим обе части уравнения на произведение

Преобразуем дробь:

Тогда

Интегрируя, находим

Для облегчения потенцирования и получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде ln . После потенцирования получим

Откуда

Произведение При этих значениях х и у дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, поэтому х=0 и у=0- решения уравнения, но решение у=0 входит в решение .

Значит, решения уравнения имеют вид .

Пример 4. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию

Решение. Разделим каждый член уравнения на произведение :

Интегрируя, находим

После потенцирования получим

Отсюда , так как при этом значении дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, то sin y=0 – решение уравнения. Но оно входит в интеграл . Значит, общий интеграл уравнения имеет вид .

Подставив в общий интеграл значение Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию, имеет вид ;

Пример 5. Решим уравнение Найти частное решение, удовлетворяющее условию у=1 при х=0.

Решение. Так как , то , откуда .

Разделим обе части уравнения на :

Интегрируя, находим

Или

После потенцирования получим решение

При у=1 и х=0 имеем

Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию, имеет вид

Элементы теории вероятностей

Задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и производить подсчёт числа всех возможных таких комбинаций, называют комбинаторными.

Размещения.

Пример. Сколькими способами из группы, включающей 25 студентов, можно выбрать актив группы в составе старосты, профорга и культорга.

Решение. Состав актива группа является упорядоченным множеством из 25 элементов по три элемента. Значит, искомое число способов равно числу размещений из 25 элементов по три элемента в каждом:

= или

Перестановки.

Пример. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений?

Решение. По условию дано множество из четырёх элементов, которые требуется расположить в определённом порядке. Значит, требуется найти количество перестановок из четырёх элементов:

т.е. из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 24 четырёхзначных числа (без повторений цифр).

Пример. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из десяти элементов:

Сочетания. = .

Пример. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

Решение. Так как игра любой команды A с командой B совпадает с игрой команды В с командой А, то каждая игра есть сочетание из 20 элементов по 2. Искомое число всех игр равно числу сочетаний из 20 элементов по 2 элемента в каждом:

= =190.

Пример. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Решение. Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом:

Случайные события. Вероятность события.

Классическое определение вероятности выражается формулой :

,

наступлению события.

Пример. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

Решение. Число равновозможных независимых исходов равно

=

Событию А благоприятствуют исходов. Следовательно,

Пример. В партии из 24 деталей пять бракованных. Из партии выбирают наугад 6 деталей. Найти вероятность того, что среди этих 6 деталей окажутся 2 бракованных (событие В).

Решение. Число равновозможных независимых исходов равно

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию B. Среди шести взятых наугад деталей должно быть 2 бракованных и 4 стандартных. Две бракованные детали из пяти можно выбрать способами, а 4 стандартных детали из 19 стандартных деталей можно выбрать способами.

Каждая комбинация бракованных деталей может сочетаться с каждой комбинацией стандартных деталей, поэтому Следовательно,

Таблица выбора варианта контрольной работы по математике

Последняя цифра шифра	Последняя цифра номера личного шифра
	0	1	2	3	4
0	1 31 11 41 21 51	1 37 12 45 23 52	1 37 13 49 25 53	1 39 14 50 27 54	1 40 15 42 29 55
1	2 32 12 41 22 57	2 35 13 46 24 58	2 38 14 50 26 59	2 40 16 49 28 60	2 39 16 43 30 56
2	3 33 13 43 23 53	3 36 14 47 25 51	3 39 15 48 27 52	3 39 17 48 29 55	3 38 17 44 29 56
3	4 34 14 44 24 54	4 37 15 48 26 58	4 40 16 47 28 59	4 38 18 47 30 60	4 37 18 45 28 51
4	5 35 15 45 25 55	5 38 16 49 27 53	5 36 17 46 28 56	5 37 19 46 26 51	5 36 19 46 27 58
5	6 36 16 46 26 56	6 39 17 50 28 54	6 35 18 45 30 55	6 36 20 45 25 59	6 35 20 47 26 51
6	7 37 17 47 27 57	7 33 18 44 29 60	7 34 19 41 24 51	7 35 11 44 24 56	7 34 14 44 25 57
7	8 38 18 48 28 58	8 32 19 43 30 59	8 33 28 42 35 54	8 34 13 43 23 53	8 33 13 49 24 60
8	9 39 19 49 29 59	9 40 11 41 22 51	10 32 11 44 27 57	10 33 11 44 27 53	9 39 12 50 23 60
9	10 40 20 50 30 60	10 31 20 42 21 52	9 31 12 43 26 56	10 32 11 41 21 58	10 31 11 41 22 51

(продолжение)

Предпослед няя цифра шифра	Последняя цифра номера личного шифра
	5	6	7	8	9
0	1 38 16 49 30 60	10 37 19 46 28 59	10 39 17 41 29 58	10 35 18 43 21 57	10 37 19 49 22 56
1	2 37 17 50 29 55	9 38 20 47 27 54	9 40 16 42 28 53	9 36 19 44 22 52	9 32 20 48 23 51
2	3 36 18 47 28 51	8 39 17 48 26 52	8 32 15 43 30 54	8 37 20 42 23 53	8 37 20 45 23 55
3	4 35 19 48 27 52	7 40 16 49 25 60	7 38 17 44 27 59	7 38 17 46 24 58	7 34 11 50 25 57
4	5 34 20 46 26 53	6 36 15 50 24 57	6 37 13 45 26 51	6 39 16 47 25 59	6 35 17 46 26 58
5	6 39 15 45 25 54	5 35 14 45 23 58	5 36 12 46 25 52	5 40 15 48 26 51	5 36 12 45 27 54
6	7 40 14 44 23 56	4 34 13 44 22 53	4 35 11 47 24 57	4 34 14 49 27 54	4 37 13 44 28 59
7	8 33 13 43 22 57	3 33 12 43 21 60	3 34 18 48 23 56	3 33 11 50 28 55	3 38 14 43 29 59
8	9 32 12 41 23 58	2 32 11 42 29 51	2 33 19 49 22 55	2 32 13 42 29 56	2 39 15 42 30 60
9	10 31 11 42 21 59	1 31 20 21 30 56	1 21 20 50 31 60	1 31 12 41 30 60	1 40 16 41 21 52