1. Непозиционные сс. Смешанные сс

В непозиционных СС величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания. Примеры непозиционных СС: биномиальная, греческая, римская. Например, в римской СС имеется алфавит вида Х={I (1), V (5), Х (10), L (50), С (100), D (500), М (1000)}, где в скобках указаны веса символов. Примеры римских чисел (в скобках — обычные десятичные эквиваленты): III (3), IV (4), V (5), VI (6), IX (9), XI (11), DCL (650). Запись числа в этой системе получается двусторонней конкатенацией, причем правая конкатенация ассоциируется с добавлением, а левая конкатенация — с убавлением (например, IV и VI).

Смешанная СС является обобщением -ричной позиционной СС также зачастую относится к позиционным СС. Основанием СС является возрастающая последовательность чисел , и каждое число представляется как линейная комбинация: , где на цифры накладываются некоторые ограничения. Записью числа в смешанной СС называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса , начиная с первого ненулевого. Если , то смешанная СС совпадает с позиционной -ричной СС. Примеры смешанных СС: факториальная (основаниями является последовательность факториалов , и каждое натуральное число представляется в виде , где .), представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд.

2. Позиционная сс

Само название этих систем указывает на связь значимости числа и его изображения от позиции. Позиция — некоторое место, в котором может быть представлен лишь один символ. Примером позиционной СС является десятичная, двоичная СС. В этой системе число представляется в виде полинома -степени, а изображается совокупностью некоторых символов, каждый из которых имеет различный вес в зависимости от позиции, которую он занимает. Основание системы счисления — число, которое равно количеству символов, участвующих в записи числа. Для десятичной системы допустимыми являются символы: 0, 1, 2, 3,..., 9. Так как таких чисел 10, то и основание системы - 10 (система десятичная).Введем обозначения: — основание СС; — -цифра в числе, т.е. ; — число разрядов в числе; — число разрядов, отведенное для изображения целой части числа. Тогда любое число в позиционной системе счисления можно представить в виде: . Например: .Число, равное основанию СС, т.е. , в самой системе записывается так: . Пусть — величина самого большого числа в данной СС. Для того чтобы представить все чисел потребуется разрядов: (от 0 до ), т.е. . Количество оборудование , которое нужно для хранения любого числа от 0 до пропорционально произведению основания системы счисления на количество разрядов, т.е. . Считаем величиной непрерывной. Найдем производные от по величине . Первая производная обращается в нуль, а вторая — больше нуля при . Т.е. получается минимум при . В позиционной СС времена выполнения операций могут быть выражены через количество разрядов в числе. Таким образом, оптимальной по оборудованию и быстродействию является система с основанием . Но - не целое число. Поэтому после округления, получаем . Следовательно, троичная система наиболее экономна с точки зрения представления чисел. Некоторые ЭВМ первых поколений работали в троичной СС (хотя сейчас наблюдается возрастание интереса к этой СС применительно к ЭВМ). Более детальный анализ показывает, что наиболее эффективными являются системы с основанием, кратным 2, т.е. 2, 4, 8, 16. Специфика построения схем ЭВМ показывает, что наиболее эффективной является 16-ая система. Именно она и применяется в современных ЭВМ.