- •Физика: Колебания и волны Модуль №5 Конспект лекций
- •5.1. Свободные незатухающие гармонические колебания
- •5.2. Математический маятник
- •5.3. Свободные незатухающие электромагнитные колебания
- •5.4. Сложение гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой
- •5.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •5.6. Затухающие механические колебания
- •Характеристики затухающих колебаний
- •5.7. Затухающие электромагнитные колебания
- •5.8. Вынужденные механические колебания. Резонанс
- •5.9. Вынужденные электромагнитные колебания
- •5.10. Переменный ток
- •5.11. Векторная диаграмма для цепи переменного тока
- •5.12. Волны в упругих средах.
- •5.13. Стоячие волны.
- •5.14. Электромагнитные волны
- •5.15. Излучение электромагнитных волн. Шкала электромагнитных волн
- •Библиографический список
- •Модуль №5
- •620002, Екатеринбург, Мира 17
5.2. Математический маятник
Математический маятник – это материальная точка на длинной невесомой нерастяжимой нити.
; (5.17)
F = mgsin. (5.18)
При малых колебаниях маятника
(5.19)
Тогда . (5.20)
Сила не упругая по своей природе, но она, как и упругая сила, направлена к положению равновесия и возрастает при увеличении смещения от положения равновесия. Такая сила называется квазиупругой (почти упругой).
Запишем для математического маятника II закон Ньютона для вращающегося тела:
, (5.21)
где - момент инерции материальной точки, - угловое ускорение; - момент силы тяжести.
В проекции на ось вращения, проходящую через точку подвеса маятника, это уравнение имеет вид:
, обозначение , ;
(если ).
Это дифференциальное уравнение имеет решения, аналогичные (5.7):
,
.
Значит, при малых отклонениях от положения равновесия колебания математического маятника являются гармоническими. Период колебаний математического маятника
. (5.22)
5.3. Свободные незатухающие электромагнитные колебания
Электромагнитные колебания – это периодические изменения с течением времени электрических и магнитных величин: q – заряда, I – силы тока; - напряженности электрического поля; - магнитной индукции; - энергии электрического поля; - энергии магнитного поля и т.д.
С вободные незатухающие электромагнитные колебания можно получить в колебательном контуре, не обладающем активным сопротивлением R (рис. 5.4).
, (5.23)
где q – заряд на обкладках конденсатора.
, (5.24)
где I – сила тока, .
Поскольку потери энергии на джоулево тепло отсутствуют, полная энергия контура остается постоянной:
, (5.25)
а ее производная по времени равна нулю:
; .
Найдем производную по времени от полной энергии контура:
; .
Обозначим:
.
Тогда последнее уравнение приобретает вид
. (5.26)
Это дифференциальное уравнение описывает зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени. Оно аналогично (5.6). Колебания заряда являются свободными гармоническими. Они описываются уравнениями, аналогичными (5.7):
или .
Период свободных электромагнитных колебаний:
. (5.27)
- (5.28)
- зависимость от времени силы тока в контуре.
- (5.29)
- зависимость от времени разности потенциалов на обкладках конденсатора.
- (5.30)
- зависимость от времени энергии электрического поля.
- (5.31)
- зависимость от времени энергии магнитного поля.
5.4. Сложение гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой
Гармонические колебания можно представить на векторной диаграмме с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол, образованный этим вектором с положительным направлением оси x в начальный момент времени, равен начальной фазе колебаний.
При вращении конца этого вектора относительно т. 0 с угловой скоростью его проекция на ось x меняется по закону .
Пусть складываются два колебания:
, (5.32)
. (5.33)
Результирующим движением будет гармоническое колебание, происходящее с той же частотой , в том же направлении, что и складываемые колебания. Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания определяются соотношениями:
, (5.34)
. (5.35)
Уравнение результирующего колебания имеет вид:
. (5.36)
Пусть амплитуды двух колебаний, происходящих в одном направлении, равны, а частоты мало отличаются.
, (5.37)
, (5.38)
причем ; .
Рассмотрим результат сложения этих колебаний:
(5.39)
Видно, что амплитуда этого колебания меняется с течением времени по гармоническому закону
. (5.40)
Рис. 5.7
Рис. 5.8
Результирующее колебание называется в этом случае биением.
, (5.41)
где - амплитуда биений;
- частота биений;
- частота колебаний;
- период биений;
- период колебаний.