5.13. Стоячие волны.

_{При наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотой и амплитудой, образуются стоячие волны.}

_(5.118)

Видно, что частота колебаний стоячей волны равна , а амплитуда колебаний зависит от координаты x .

В точках среды, где (m=0,1,2,3…), (5.119)

амплитуда колебаний достигает максимального значения равного 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей:

(m=0,1,2,3……). (5.120)

В точках среды, где (m=0,1,2,3...), (5.121)

амплитуда обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Координаты узлов:

(m=0,1,2,3….). (5.122)

В отличие от бегущей волны, точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с разными фазами, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (в уравнении стоячей волны (5.118) фаза колебаний не зависит от х).

При переходе через узел множитель меняет свой знак, поэтому фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на , т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, совершают колебания с противоположными фазами. Образование стоячих волн наблюдается, в частности, при наложении бегущей и отраженной волн. На границе, где происходит отражение волны, в зависимости от соотношения плотностей сред ₁ и ₂ может возникнуть узел или пучность. Образование узла связано с тем, что при отражении от более плотной среды ₁<₂ фаза волны меняется на противоположную. Если же волна отражается от менее плотной среды ₁>₂, изменение фазы не происходит, и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами, то образуется пучность. Стоячая волна не переносит энергию, поэтому полная энергия стоячей волны, заключенная между узлами, остается постоянной.

На рисунке 5.33 изображено смещение от положения равновесия точек в стоячей волне в зависимости от координаты х при ₁>₂.

Рис. 5.33

5.14. Электромагнитные волны

Деление единого электромагнитного поля на электрическое и магнитное условно. Электромагнитное поле лишь различным образом проявляет себя в различных системах отсчета.

П

Рис. 5. 25

ример: свяжем систему k с зарядом q. Заряд q движется относительно системы k^ (рис. 5.34). В системе k^ существует только электростатическое поле, а в системе k существует и электрическое, и магнитное поле. Еще более тесную связь между электрической и магнитной составляющей единого электромагнитного поля установил Максвелл. Он показал, что всякое изменение во времени магнитного поля порождает поле электрическое, изменение же электрического поля, в свою очередь, возбуждает магнитное поле.

За счет непрерывного взаимопревращения электромагнитное возмущение распространяется в пространстве. Этот процесс имеет волновой характер.

Процесс распространения в пространстве переменного электрического поля и неразрывно связанного с ним переменного магнитного поля называется электромагнитной волной (ЭМВ).

Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и установила их основные свойства.

1). В электромагнитной волне (ЭМВ) вектора напряженности электрического поля и магнитной индукции совершают колебания в одинаковой фазе:

;

. (5.123)

В ЭМВ колебания векторов напряженности электрического поля и магнитной индукции происходят в плоскости, перпендикулярной скорости распространения волны: , . Поэтому ЭМВ - поперечная волна. Кроме того, вектора и взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов с вектором . Все сказанное можно видеть на рис. 5.35, который является "мгновенной фотографией ЭМВ".

Уравнения (5.123) являются решениями волновых уравнений ЭМВ:

(5.124)

При записи уравнений (5.124) использовано обозначение оператора Лапласа:

. (5.125)

2) Электромагнитные волны могут распространяться и в веществе, и в вакууме. Скорость распространения ЭМВ зависит от электрических () и магнитных () свойств вещества.

Максимальна скорость распространения ЭМВ в вакууме – c, она равна скорости света в вакууме и связана с электрической (₀) и магнитной (₀) постоянными соотношением

. (5.126)

В веществе скорость ЭМВ меньше

, (5.127)

где n - абсолютный показатель преломления данного вещества, зависящий от относительной диэлектрической  и относительной магнитной проницаемости  вещества:

. (5.128)

Учитывая (5.127), для скорости ЭМВ в веществе можно получить следующее выражение:

. (5.129)

3). На границе раздела двух сред с различными абсолютными показателями преломления n₁ и n₂ происходит отражение и преломление электромагнитной волны. При этом выполняются следующие законы:

а). Лучи падающий, отраженный, преломленный и перпендикуляр к границе раздела сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости.

б). Угол отражения  равен углу падения  (см. рис. 5.36).

в ). Отношение синуса угла падения  к синусу угла преломления  (рис. 5.36) равно отношению абсолютного показателя преломления второй среды n₂ к абсолютному показателю преломления первой среды n₁:

, (5.130)

n₂₁ - относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

4). Электромагнитные волны материальны. Это означает, что, распространяясь в пространстве, они обладают массой, импульсом, производят давление на поверхность, на которую они падают.

Объемную плотность энергии ЭМВ w можно найти как сумму объемной плотности энергии электрического поля w_эл и объемной плотности энергии магнитного поля w_м:

w = w_эл + w_м. (5.131)

Поскольку , а , и в случае ЭМВ w_эл = w_м, т.е.

; , (5.132)

то (5.131) можно переписать в виде

. (5.133)

Перенос энергии электромагнитной волной характеризуется двумя величинами - потоком энергии и плотностью потока энергии.

Поток энергии  численно равен энергии, переносимой электромагнитной волной через некоторую поверхность S в единицу времени (рис. 5.37)

. (5.134)

Плотность потока энергии - это векторная величина, численно равная энергии, переносимой через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, в единицу времени.

, . (5.135)

Вектор плотности потока энергии называют еще вектором Пойнтинга, или вектором Умова-Пойнтинга.

Вектор Умова-Пойнтинга можно представить и в таком виде:

или

. (5.136)

Массу электромагнитной волны можно определить, зная ее энергию, из формулы Эйнштейна E = mc².

Максвелл теоретически показал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление. Это давление возникает в результате воздействия магнитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полем той же волны (рис. 5.38).

Д авление на поверхность численно равно изменению импульса единицы площади поверхности в единицу времени.

Если поверхность полностью поглощает ЭМВ, то

.

В вакууме V = c, поэтому P = w. (5.137)

Если поверхность полностью отражает ЭМВ, то

. (5.138)

Если волна частично отражается, частично поглощается поверхностью, то

Р = (1 + ) w, (5.139)

где  - коэффициент отражения, 0   1.

Оба предыдущих выражения (5.137) и (5.138) получаются из (5.139) в предельных случаях.

Давление электромагнитного излучения очень мало. Например, давление солнечного излучения на Земле имеет порядок величины 10^-6 Па, что в 10¹⁰ раз меньше атмосферного давления. Несмотря на очень малое значение этой величины, экспериментальное доказательство существования давления электромагнитных волн - светового давления - было получено П.Н. Лебедевым. Результаты этих опытов оказались в согласии с электромагнитной теорией света.