8. Свойства гамильтоновых графов.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории графов, является известная «задача о коммивояжере». Решение этой задачи естественно привело к определению важного класса графов, называемых гамильтоновыми. Цель контрольной работы - изучить основные свойства гамильтоновых графов и рассмотреть практические задачи, сводящиеся к задаче о коммивояжере. Рекомендуется следующий план работы:

1) Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как граф, маршрут и цепь, контур и цикл (/1/, с. 9-43; /2/, с. 14-18).

2) Рассмотреть понятие гамильтонова цикла, ввести определение гамильтонова графа и доказать теорему Дирака о таких графах (/1/, с. 48-51; /2/, с. 168-173).

3) Разобрать задачу о коммивояжере и примеры конкретных практических задач, приводящих к этой задаче (/2/, с. 179-182).

4) Изучить метод ветвей и границ, разобрать точный алгоритм решения задачи о коммивояжере на стр. 182-197 в /2/.

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Уилсон р. Введение в теорию графов. – м.: Мир, 1977.

2 Белов в.В., Воробьев е.М., Шаталов в.Е. Теория графов. – м.: вш,

1976.

3 Березина л.Ю. Графы и их применения: Пособие для учителей. – м.,

1979.

9. Ориентированные графы.

Понятие ориентированного графа (орграфа) играет важную роль в

теории графов и ее разнообразных приложениях. В контрольной работе необходимо изучить основные свойства орграфов и проанализировать известную классификацию таких графов. Рекомендуется следующий план

работы:

1) Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как ориентированный граф, ориентированный маршрут, орцепь, орцикл и сильная связность, доказать теорему Роббинса об ориентируемом связном графе (/1/, с. 127-130).

2) Рассмотреть понятие эйлерова орграфа и доказать основную теорему о таких графах (/1/, с. 131-133).

3) Рассмотреть понятия гамильтонова орграфа и проанализировать взаимосвязь полугамильтоновых оргафов с турнирами (/1/, с. 133-136). 4 Разобрать приложение орграфов к теории цепей Маркова (/1/, с. 138-142).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Уилсон р. Введение в теорию графов. – м.: Мир, 1977.

2 Белов в.В., Воробьев е.М., Шаталов в.Е. Теория графов. – м.: вш,

1976.

3 Березина л.Ю. Графы и их применения: Пособие для учителей. – м.,

1979.

10. Паросочетания.

Многие комбинаторные приложения теории графов естественно приводят к понятиям паросочетания и трансверсали. Цель контрольной работы -

изучить постановки важных комбинаторных задач и основные методы их решения с помощью теории графов. Рекомендуется следующий план работы:

1) Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как граф, двудольный граф и паросочетание (/1/, с. 9-43, 144-146; /3/, с. 154-159).

2) Рассмотреть известную задачу о свадьбах и доказать теорему Холла (/1/, с. 144-147; /2/, с. 168-173).

3) Изучить теорию трансверсалей и ее приложение к задачам о паросочетаниях (/1/, с. 148-150). 4 Разобрать приложения теоремы Холла к латинским квадратам, реберным раскраскам графов и (0,1)-матрицам (/1/, с. 151-156).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Уилсон р. Введение в теорию графов. – м.: Мир, 1977.

2 Белов в.В., Воробьев е.М., Шаталов в.Е. Теория графов. – м.: вш,

1976.

3 Липский В. Комбинаторика для программистов. – М.: Мир, 1988.

4 Березина л.Ю. Графы и их применения: Пособие для учителей. – м.,

1979.

11. Теория трансверсалей.

Известная задача о системе различных представителей (называемая

также трансверсалью) имеет многочисленные приложения в теории множеств, комбинаторике, теории графов и других разделах дискретной математики. Цель контрольной работы - изучить разнообразные эквивалентные постановки задачи о системе различных представителей и методы ее решения. Рекомендуется следующий план работы:

1) Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как граф и двудольный граф, паросочетание и трансверсаль (/1/, с. 9-43, 144-148; /2/, с.

128-134; /3/, с. 154-155, 163-169).

2) Разобрать доказательство теоремы о системе различных представителей и эквивалентных ей известных теорем (/2/, с. 128-144).

3) Рассмотреть прикладные задачи на паросочетания (/2/, с. 150-166).

Литература, рекомендуемая для изучения темы