20. Алгебры отношений и полугруппы преобразований.

Полугруппы преобразований, с одной стороны, играют фундаментальную роль в теории полугрупп и, с другой стороны, являются частным видом алгебр отношений, играющих важную роль в универсальной алгебре. Цель контрольной работы - изучить основные методы алгебр отношений и теории представления полугрупп преобразованиями. Рекомендуется следующий план работы:

1) Изучить такие основополагающие понятия теории моделей, как язык узкого исчисления предикатов (УИП) и его интерпретация в моделях (/1/, с. 13-61; /2/, с. 103-118; /3/, с. 4-9).

2) Рассмотреть понятие алгебры отношений и разобрать (без доказательства) основную теорему об алгебрах отношений (/3/, с. 10-15).

3) Изучить метод определяющих пар в теории представления полугрупп преобразованиями и получить с его помощью абстрактную характеристику упорядоченных полугрупп преобразований (/3/, с. 15-30).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Кейслер Г., Чен Ч.Ч. Теория моделей. – М.: Мир, 1977.

2 Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. – М.: Наука,

1979.

3 Шайн Б.М. Лекции о полугруппах преобразований. – Саратов: Изд-во

СГУ, 1970.

21. Рациональные языки.

Рациональные языки были введены С. Клини при изучении языков, распознаваемых автоматами с конечным числом состояний. В контрольной работе необходимо изучить основные свойства конечных автоматов и проанализировать взаимосвязь между рациональными языками и языками, распознаваемыми конечными автоматами. Рекомендуется следующий план работы:

1) Изучить основные понятия теории конечных автоматов (/1/, с. 174-178; /2/, с. 447-453, 483-486).

2) Рассмотреть понятие полугруппы слов и понятие языка, распознаваемого конечным автоматом, исследовать взаимосвязь таких языков с конгруэнциями и фактор-полугруппами полугруппы слов (/1/, с. 178-184; /2/, с. 520-521).

3) Разобрать понятие рационального языка и доказать теорему Клини об эквивалентности этого понятия понятию языка, распознаваемого конечным автоматом (/1/, с. 189-194).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. – М.: Мир,

1985.

2 Лидл Р., Пильц Г. Прикладная абстрактная алгебра. – Екатеринбург:

Изд-во УрГУ, 1996.

Тема 71. Соответствие Эйленберга

22. Отношения Грина.

Введенные Дж. Грином пять фундаментальных отношений на полугруппах играют центральную роль при описании строения полугрупп как в локальном, так и в глобальном аспектах. В контрольной работе необходимо изучить основные свойства отношений Грина на конечных полугруппах и рассмотреть их приложение к описанию локальных свойств таких полугрупп. Рекомендуется следующий план работы:

1) Рассмотреть такие важные понятия теории полугрупп, как полугруппа преобразований и идеалы полугрупп, доказать основные свойства идеалов конечных полугрупп (/1/, с. 21-22, 35-42; /2/, с. 15-23).

2) Изучить определения и свойства отношений Грина на конечной полугруппе (/1/, с. 42-45; /2/, с. 72-77).

3) Рассмотреть приложения отношений Грина к описанию локального строения конечных полугрупп (/1/, с. 45-49).

4) Разобрать понятие группы Шютценберже D-класса конечной полугруппы и доказать ее свойства (/1/, с. 49-56; /2/, с. 93-96).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. – М.: Мир,

1985.

2 Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, Т. 1. –

М.: Мир, 1972.