- •Частина друга: інтеґральне числення. Диференціальні рівняння. Ряди
- •4.1.2. Властивості первісної
- •4.2. Невизначений інтеґрал
- •4.2.1. Означення невизначеного інтеґрала
- •4.2.2. Властивості невизначеного інтеґрала
- •4.3. Інтеґрування підстановкою (заміна змінної)
- •4.4. Інтеґрування частинами
- •4.5. Інтеґрування раціональних дробів та функцій
- •4.6. Інтеґрування тригонометричних функцій
- •4.6.1. Універсальна тригонометрична підстановка
- •4.6.2. Інші підстановки
- •4.6.3. Деякі інші методи а) Застосування формул зниження степеня
- •Б) Застосування формул перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебричну суму
- •4.7. Інтеґрування ірраціональних функцій
- •4.7.1. Линійні і дробово-лінійні ірраціональності
- •4.7.2. Квадратичні ірраціональності. Тригонометричні підстановки
- •4.7.3. Квадратичні ірраціональності (загальний випадок)
- •4.8. Поняття про інтеґрали, які не "беруться"
- •5. Визначений інтеґрал
- •5.1. Задачі, які ведуть до поняття визначеного інтеґрала
- •5 .1.1. Площа криволінійної трапеції
- •5.1.2. Кількість виготовленої продукції
- •5.1.3. Довжина пройденого шляху.
- •5.2. Визначений інтеґрал
- •5.3. Властивості визначеного інтеґрала
- •5.3.1. Лінійність та адитивність
- •5 .3.2. Інтеґрування нерівностей. Теорема про середнє
- •5.4. Визначений інтеґрал як функція своєї верхньої межі
- •5.5. Формула ньютона - лейбніца
- •5.6. Основні методи обчислення визначеного інтеґрала
- •5.6.1. Заміна змінної (спосіб підстановки)
- •5.6.2. Інтеґрування частинами
- •6. Застосування визначеного інтеґрала
- •6.1. Дві схеми застосування визначеного интеґрала
- •6.2. Площі плоских фігур: доповнення
- •6.3. Довжина дуги кривої
- •6.4.1. Об"єм тіла з відомими площами паралельних поперечних перерізів
- •6.4.2. Об"єм тіла обертання
- •6.5. Деякі економічні застосування
- •7. Наближене обчислення визначеного інтеґрала
- •7.1. Формули прямокутників
- •7.2. Формула трапецій
- •7.3. Формула симпсона1 (формула парабол)
- •8. Невласні інтеґрали
- •8.1. Невласні інтеґрали першого роду
- •8.2. Невласні інтеґрали другого роду
- •8.3. Ознаки збіжності невласних інтеґралів
- •8.4. Гама-функція ейлера
- •9. Подвійний інтеґрал
- •9.1. Подвійний інтеґрал та його властивості
- •9.2. Обчислення подвійного інтеґрала в декартових координатах
- •9.3. Невласні подвійні інтеґрали. Формула пуассона
- •9.4. Подвійний інтеґрал в полярних координатах
- •4. Невизначений інтеґрал 206
- •4.2. Невизначений інтеґрал 208
7. Наближене обчислення визначеного інтеґрала
В попередньому розділі ми розглянули деякі з надзвичайно численних застосувань визначеного інтеґрала. Успіх цих застосувань великою мірою залежать від нашої спроможності обчислювати інтеґрали, краще за все – за допомогою формули Ньютона-Лейбніца. Але формула незастосовна, якщо первісна підінтеґральної функції не виражається в елементарних функціях. В таких випадках ми можемо вдаватися до відшукання наближених значень відповідних інтеґралів.
Для достатньо простого виведення формул наближеного інтеґрування ми припускатимемо підінтеґральну функцію невід"ємною, . В такому випадку визначений інтеґрал
визначає площу криволінійної трапеції
,
обмеженої прямими , , віссю Ox і графіком функції. Отримані результати залишаються вірними і в загальному випадку.
7.1. Формули прямокутників
Поділимо відрізок на n рівних частин довжини
точками
.
Прямі Рис. 1
поділяють графік функції на n частин (рис. 1). Введімо наступні позначення для значень функції в точках поділу:
.
а) Замінюючи всі частини кривої відрізками прямих ліній
,
ми замінюємо криволінійну трапецію множиною прямокутників з сумарною площею
.
Отже,
( 1 )
б) Аналогічно, замінюючи всі частини кривої відрізками прямих ліній
,
отримуємо
( 2 )
Абсолютна похибка формул (1), (2), а саме абсолютна величина різниці інтеґрала і суми має порядок 1/n, тобто
.
в) Поділивши відрізок на 2n рівних частин довжини
Рис. 2 точками
(рис. 2),
ми замінимо криволінійну трапецію множиною прямокутників з основами 2h, висотами і сумарною площею
Звідси
( 3 )
Абсолютна похибка формули (3) має порядок 1/n2, тобто
Це означає, що формула (3) є більш точною в порівнянні з формулами (1) і (2).
7.2. Формула трапецій
Після ділення відрізка на n рівних частин
довжини
точками Рис. 3
ми ділимо на n дуг графік функції точками
(рис. 3).
Замінивши тепер всі дуги відрізками , мы замінимо криволінійну трапецію множиною трапецій з сумарною площею .
Звідси ми приходимо до наступної наближеної формули (так званої формули трапецій):
,
( 4 )
Абсолютна похибка формули (4) має порядок 1/n2, тобто
.
Це значить, що формули (3) і (4) мають один і той же порядок точності.
7.3. Формула симпсона1 (формула парабол)
Розділимо (точками ) відрізок на парну кількість 2n рівних частин довжини , і нехай
- точки кривої , які відповідають точкам поділу (див. рис. 4 для випадку 2n = 6).
Проведімо спочатку через точки па-раболу (див. рис. 4, 5). Площа фігу-ри між параболою і відріз- Рис. 4 Рис. 5 ком осі Ox дорівнює
.
■Припустімо для простоти доведення, що . Тоді ,
■
Отже, ми можемо наближено записати
.
Вчиняючи таким же чином з трійками точок
…, ,
дістаємо
.
Таким чином, ми приходимо до формули Симпсона для наближеного обчислення визначеного інтеґрала
(5)
Наприклад, у випадку n = 3, 2n = 6 (рис. 4) формула має такий вигляд:
.
Формула Симпсона (5) в порівнянні з формулами (1) – (4) , є найбільш то-чною. Дійсно, її абсолютна похибка має порядок 1/n4 , тобто
.
Приклад 1. Знайти наближене значення визначеного інтеґрала
.
Утворимо наступну таблицю значень арґументу і функції:
i |
|
|
|
0 |
0.0 |
0.00 |
0.0000 |
1 |
0.2 |
0.04 |
0.0400 |
2 |
0.4 |
0.16 |
0.1593 |
3 |
0.6 |
0.36 |
0.3523 |
4 |
0.8 |
0.64 |
0.5972 |
5 |
1.0 |
1.00 |
0.8415 |
6 |
1.2 |
1.44 |
0.9915 |
7 |
1.4 |
1.96 |
0.9249 |
8 |
1.6 |
2.56 |
0.5487 |
Вона відповідає поділу відрізка на частин довжини
.
За формулою (1)
.
За формулою (2)
.
Використовуючи формулу (3), ми беремо 2n = 8, n = 4,
,
і тому
.
За формулою (4)
.
Формулою (5) ми скористаємось двічі.
Спочатку ми поділимо відрізок на 2n = 4 частин,
, , , , ,
Відповідно
, , , , , ,
і тому
Поділивши тепер відрізок на 2n = 8 частин,
,
маємо
Корисно порівняти всі отримані результаті з відомим наближеним значенням того ж інтеґрала з точністю до , а саме:
.