- •Частина друга: інтеґральне числення. Диференціальні рівняння. Ряди
- •4.1.2. Властивості первісної
- •4.2. Невизначений інтеґрал
- •4.2.1. Означення невизначеного інтеґрала
- •4.2.2. Властивості невизначеного інтеґрала
- •4.3. Інтеґрування підстановкою (заміна змінної)
- •4.4. Інтеґрування частинами
- •4.5. Інтеґрування раціональних дробів та функцій
- •4.6. Інтеґрування тригонометричних функцій
- •4.6.1. Універсальна тригонометрична підстановка
- •4.6.2. Інші підстановки
- •4.6.3. Деякі інші методи а) Застосування формул зниження степеня
- •Б) Застосування формул перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебричну суму
- •4.7. Інтеґрування ірраціональних функцій
- •4.7.1. Линійні і дробово-лінійні ірраціональності
- •4.7.2. Квадратичні ірраціональності. Тригонометричні підстановки
- •4.7.3. Квадратичні ірраціональності (загальний випадок)
- •4.8. Поняття про інтеґрали, які не "беруться"
- •5. Визначений інтеґрал
- •5.1. Задачі, які ведуть до поняття визначеного інтеґрала
- •5 .1.1. Площа криволінійної трапеції
- •5.1.2. Кількість виготовленої продукції
- •5.1.3. Довжина пройденого шляху.
- •5.2. Визначений інтеґрал
- •5.3. Властивості визначеного інтеґрала
- •5.3.1. Лінійність та адитивність
- •5 .3.2. Інтеґрування нерівностей. Теорема про середнє
- •5.4. Визначений інтеґрал як функція своєї верхньої межі
- •5.5. Формула ньютона - лейбніца
- •5.6. Основні методи обчислення визначеного інтеґрала
- •5.6.1. Заміна змінної (спосіб підстановки)
- •5.6.2. Інтеґрування частинами
- •6. Застосування визначеного інтеґрала
- •6.1. Дві схеми застосування визначеного интеґрала
- •6.2. Площі плоских фігур: доповнення
- •6.3. Довжина дуги кривої
- •6.4.1. Об"єм тіла з відомими площами паралельних поперечних перерізів
- •6.4.2. Об"єм тіла обертання
- •6.5. Деякі економічні застосування
- •7. Наближене обчислення визначеного інтеґрала
- •7.1. Формули прямокутників
- •7.2. Формула трапецій
- •7.3. Формула симпсона1 (формула парабол)
- •8. Невласні інтеґрали
- •8.1. Невласні інтеґрали першого роду
- •8.2. Невласні інтеґрали другого роду
- •8.3. Ознаки збіжності невласних інтеґралів
- •8.4. Гама-функція ейлера
- •9. Подвійний інтеґрал
- •9.1. Подвійний інтеґрал та його властивості
- •9.2. Обчислення подвійного інтеґрала в декартових координатах
- •9.3. Невласні подвійні інтеґрали. Формула пуассона
- •9.4. Подвійний інтеґрал в полярних координатах
- •4. Невизначений інтеґрал 206
- •4.2. Невизначений інтеґрал 208
5.3. Властивості визначеного інтеґрала
5.3.1. Лінійність та адитивність
1 (однорідність). Сталий множник k може бути винесений за знак визначеного інтеґрала,
.
■Утворимо інтеґральні суми для лівої и правої частин. Вони рівні, оскільки
.
Тому їх границі, тобто відповідні визначені інтеґрали, є також рівними.■
2 (адитивність відносно підінтеґральної функції). Якщо - дві інтеґровні функції, то
.
Доведіть цю властивість самостійно.
Наслідок (лінійність). Для будь-яких двох інтеґровних функцій і довільних сталих
.
3 (адитивність відносно інтервалу інтеґрування). Для будь-яких a, b, c
,
якщо принаймні два з трьох інтеґралів існують.
■1) Нехай спочатку c(a, b). Утворимо інтеґральну суму так, щоб c було точкою ділення. В такому випадку (позначення зрозумілі)
,
і перехід до границі при доводить властивість.
2) Нехай тепер розташування точок a, b, c довільне, наприклад, . Застосовуючи перший випадок до інтервала і означення 5, отримаємо
звідки
.■
5 .3.2. Інтеґрування нерівностей. Теорема про середнє
4. Якщо a < b і підінтеґральна функція невід"ємна на відрізку , , то
.
Інтеґрал строго додатний, якщо функція неперервна на відрізку і не дорівнює нулю тотожно.
■ Невід"ємність інтеґрала безпосередньо випливає з додатності інтеґраль-ної суми для функції Його строга додатність, як можна довести більш складними міркуваннями, є результатом неперервності функції. ■
5. Якщо a < b і на , то
.
Інтеґрали пов"язані строгою нерівністю, якщо функції неперервні на відрізку і не рівні тотожно.
■Достатньо застосувати попередню властивість до різниці .■
Приклад 2.
,
оскільки на відрізку .
6. Якщо a < b, то
( 17 )
■ Достатньо застосувати властивість 5 до подвійної нерівності
■
7 (двобічна оцінка визначеного інтеґрала). Якщо a < b і функція неперервна на відрізку a, b, то справедливою є подвійна нерівність
. ( 18 )
■Доведення випливає з властивості 5, нерівності на та формули (13).■
Приклад 3. Оцінити інтеґрал
.
Маємо
і на підставі формули (18)
.
8. Теорема про середнє. Якщо функція непнрервна на відрізку , то існує точка така, що
( 19 )
Рис. 3 ■Нехай, наприклад, a < b. Діленням обох частин не-рівності (18) на додатне число отримуємо
.
Згідно з теоремою Больцано1–Коші для функції, яка неперервна на відрізку , існує точка така, що
.
Випадок розглядається таким же чином. Зробіть це самостійно.■
Геометричний сенс теореми про середнє (рис. 3). Площа криволінійної трапеції (1) дорівнює площі прямокутника ABCD з тією ж основою AD=a, b і висотою .
Означення 6. Вираз
( 20 )
називається середнім значенням функції на відрізку a, b.
5.4. Визначений інтеґрал як функція своєї верхньої межі
Нехай xa, b. Розглядемо функцію
, ( 21 )
тобто визначений інтеґрал с змінною верхньою межею x. Геометрично (для невід"ємної підінтеґ- Рис. 4 ральної функції ) цей інтеґрал дає площу тієї частини криволінійної трапеції
,
яка лежить між прямими (рис. 4).
Теорема 2. Якщо функція неперервна на відрезку a, b, то для будь-якого похідна інтеґрала (21) дорівнює
, ( 22 )
тобто похідна визначеного інтеґрала з змінною верхнью межею x по цій межі дорівнює значенню підінтеґральної функції в точці x.
■За означенням похідної
.
Використовуючи адитивність визначеного інтеґрала відносно інтервалу інтеґрування, маємо
Нехай, наприклад, . На підставі теореми про середнє існує така точка в інтервалі , що
.
При цьому , якщо . Беручи до уваги неперервність функції f, ми дістаємо
.■
Наслідок (основна теорема інтеґрального числення). Кожна функція, неперервна на відрізку a, b, має первісну на a, b.
■Однією з таких первісних є інтеґрал (21) з змінною верхньою межею x.■
Приклад 4. Знайти похідну функції
.
Згідно з формулою (22)
.
Приклад 5. Знайти похідну функції
.
Використовуючи властивість адитивності визначеного інтеґрала відносно інтервалу інтеґрування, правило диференціювання складеної функції та формулу (22), отримуємо