- •Частина друга: інтеґральне числення. Диференціальні рівняння. Ряди
- •4.1.2. Властивості первісної
- •4.2. Невизначений інтеґрал
- •4.2.1. Означення невизначеного інтеґрала
- •4.2.2. Властивості невизначеного інтеґрала
- •4.3. Інтеґрування підстановкою (заміна змінної)
- •4.4. Інтеґрування частинами
- •4.5. Інтеґрування раціональних дробів та функцій
- •4.6. Інтеґрування тригонометричних функцій
- •4.6.1. Універсальна тригонометрична підстановка
- •4.6.2. Інші підстановки
- •4.6.3. Деякі інші методи а) Застосування формул зниження степеня
- •Б) Застосування формул перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебричну суму
- •4.7. Інтеґрування ірраціональних функцій
- •4.7.1. Линійні і дробово-лінійні ірраціональності
- •4.7.2. Квадратичні ірраціональності. Тригонометричні підстановки
- •4.7.3. Квадратичні ірраціональності (загальний випадок)
- •4.8. Поняття про інтеґрали, які не "беруться"
- •5. Визначений інтеґрал
- •5.1. Задачі, які ведуть до поняття визначеного інтеґрала
- •5 .1.1. Площа криволінійної трапеції
- •5.1.2. Кількість виготовленої продукції
- •5.1.3. Довжина пройденого шляху.
- •5.2. Визначений інтеґрал
- •5.3. Властивості визначеного інтеґрала
- •5.3.1. Лінійність та адитивність
- •5 .3.2. Інтеґрування нерівностей. Теорема про середнє
- •5.4. Визначений інтеґрал як функція своєї верхньої межі
- •5.5. Формула ньютона - лейбніца
- •5.6. Основні методи обчислення визначеного інтеґрала
- •5.6.1. Заміна змінної (спосіб підстановки)
- •5.6.2. Інтеґрування частинами
- •6. Застосування визначеного інтеґрала
- •6.1. Дві схеми застосування визначеного интеґрала
- •6.2. Площі плоских фігур: доповнення
- •6.3. Довжина дуги кривої
- •6.4.1. Об"єм тіла з відомими площами паралельних поперечних перерізів
- •6.4.2. Об"єм тіла обертання
- •6.5. Деякі економічні застосування
- •7. Наближене обчислення визначеного інтеґрала
- •7.1. Формули прямокутників
- •7.2. Формула трапецій
- •7.3. Формула симпсона1 (формула парабол)
- •8. Невласні інтеґрали
- •8.1. Невласні інтеґрали першого роду
- •8.2. Невласні інтеґрали другого роду
- •8.3. Ознаки збіжності невласних інтеґралів
- •8.4. Гама-функція ейлера
- •9. Подвійний інтеґрал
- •9.1. Подвійний інтеґрал та його властивості
- •9.2. Обчислення подвійного інтеґрала в декартових координатах
- •9.3. Невласні подвійні інтеґрали. Формула пуассона
- •9.4. Подвійний інтеґрал в полярних координатах
- •4. Невизначений інтеґрал 206
- •4.2. Невизначений інтеґрал 208
5.5. Формула ньютона - лейбніца
Теорема 3. Якщо функція неперервна на відрізку a, b і F(x) - одна з її первісних, то обчислення визначеного інтеґрала функції по відрізку можна здійснити за допомогою так званої формули Ньютона1-Лейбніца2
. ( 23 )
■ Ми маємо дві первісні для функції , а саме: названу первісну і, крім того, визначений інтеґрал (формула (21)) з змінною верхньою ме-жею x. За відповідною властивістю первісної різниця функцій і є сталою, тобто
.
Щоб знайти значння сталої C, покладімо . Матимемо
,
і тому
.
Замінюючи x на b і t на x, отримуємо формулу (23).■
Зауваження. Вираз
,
який означає дію , називається подвійною підстановкою.
Приклад 6. Обчислити визначений інтеґрал
Первісною для є , і за формулою Ньютона-Лейбніца
Приклад 7. Знайти площу фігури, обмеженої наступними лініями: , (рис. 5).
Задана фігура є криволінійною трапецією, і за форму-лою (10) її площа дорівнює визначеному інтеґралу від функ- Рис. 5 ції по відрізку ,
.
Приклад 8. Частинка рухається вздовж прямої, і її швидкість через t с після проходження точки O дорівнює м/с. Знайти відстань частинки від точки O через 2 с, а також середнє значення її швидкості протягом проміжку часу від до .
Згідно з формулою (12) шукана відстань дорівнює
м.
Використовуючи далі формулу (20) і результат щойно проведеного інтеґ-рування, маємо
.
Приклад 9. Знайти середнє значення функції на відрізку .
За формулою (20)
.
5.6. Основні методи обчислення визначеного інтеґрала
5.6.1. Заміна змінної (спосіб підстановки)
Теорема 4. Нехай: 1) функція неперервна на відрізку [a, b]; 2) функ-ція неперервна зі своєю похідною на відрізку [α, β]; 3) виконуються рівності , . Тоді має місце наступна формула (формула заміни змінної)
. ( 24 )
■ Нехай - якась первісна функції . Тоді є первісною функції . За формулою Ньютона-Лейбніца
а) інтеґрал ліворуч дорівнює
;
б) інтеґрал праворуч має таке ж саме значення, оскільки
.■
Зауваження. На відміну від невизначеного інтеґрала післе застосування формули (24) не треба повертатися до попередньої змінної інтеґрування.
Приклад 10. Обчислити визначений інтеґрал
.
Покладімо . Тоді , так що
Приклад 11. Знайти площу фігури, обмеженої еліпсом
(рис. 6). Рис. 6 Достатньо знайти почетверену площу частини OAB фігури.
Перший спосіб. З рівняння еліпса
,
і тому
Другий спосіб. Краще перейти до параметричних рівнянь еліпса, а саме: . В цьому випадку заміна змінної в результаті якої ми повинні взяти , дає той же результат значно простіше,
.
5.6.2. Інтеґрування частинами
Теорема 5. Якщо функції неперервні з своїми похідними на відрізку , то справедливою є наступна формула (формула інтеґрування частинами):
( 25 )
■Для доведення формули достатньо проінтеґруровати від a до b обидві частини рівності
і застосувати формулу Ньютона-Лейбніца для інтеґрала від функції .■
Приклад 12. Обчислити визначений інтеґрал
.
Використовуючи інтеґрування частинами, отримуємо
.
Приклад 13. Обчислити площу фігу-ри, обмеженої двома лініями (див. рис. 7). Рис. 7 Лінії перетинаються в точках і утворюють фігуру (рис. 7). Її площа дорівнює різниці площ двох криволінійних трапецій . Тому
.
Приклад 14. Нехай
.
Довести, що
.
■
■
Наприклад,
.
Приклад 15. Знайти залишковий член формули Тейлора в формі Ла-ґранжа.
Нехай, наприклад, , і
.
За формулою Лаґранжа . Взявши
,
маємо
,
і після інтеґрування по відрізку отримуємо
Таким чином,
Щоб знайти для довільного n ми пишемо
потім покладаємо , і за формулою Лаґранжа маємо
.
Далі ми n раз інтеґруємо по відрізку і отримуємо
…
тобто