Лабораторна робота №2

Тема заняття:

Обчислення повної ймовірності події та апостеріорної ймовірності гіпотези за умов, що подія відбулася

Мета заняття:

Закріпити теоретичні знання щодо визначення повної ймовірності випадкової події та використання формули Байєсса;

Навчитися використовувати дерево станів для проведення обчислень за допомогою MS Excel.

Теоретичні положення:

При аналізі можливого розвитку подій та визначенні ризиків, що пов’язані з впливом факторів, появу яких можна передбачити, застосовується формула повної ймовірності. Нехай подія може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій (гіпотез) , які утворюють повну групу подій, тоді ймовірність цієї події визначається формулою:

, (2.1)

де − ймовірність реалізації гіпотези ;

− умовна ймовірність події , тобто ймовірність події за умови, що реалізується гіпотеза .

Оскільки гіпотези утворюють повну групу несумісних подій, то повинні виконуватися наступні умови:

, якщо , та . (2.2)

Обчислення апостеріорної ймовірності здійснюється за формулою Байєса. Нехай подія , що може мати місце при реалізації однієї з гіпотез , вже відбулася. Ймовірність того, що ця подія відбулася саме в наслідок реалізації гіпотези (апостеріорна ймовірність), визначається за формулою Байєса:

, (2.3)

де − ймовірність -ої гіпотези за умов, що подія відбулася.

Приклад 2.1. Підприємець має можливість орендувати місце на одному з двох торгівельних майданчиків: закритому чи відкритому. Якщо погода сонячна, то торгівля йде на обох майданчиках, при цьому ймовірність досягти певного рівня прибутковості („успіх”) складає 0,7 для відкритого майданчика та 0,6 для закритого. Якщо йде дощ, то на відкритому майданчику покупців нема, а для закритого майданчика ймовірність отримати певний рівень прибутку зберігає те ж саме значення 0,6. Протягом року дощова погода спостерігається в середньому для половини днів. Визначить ймовірність отримання певного рівня прибутку, якщо в хорошу погоду підприємець з однаковою ймовірністю обирає торгівлю на відкритому чи закритому майданчиках, а в погану − тільки на закритому.

Розв’язання прикладу 2.1. Розглянемо стани, у яких може перебувати система „Підприємець” (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Множина станів системи „Підприємець”

На рис. 2.1 визначена множина станів, у яких може перебувати система, показані шляхи переходів та ймовірності, з якими ці переходи здійснюються. Маємо два послідовних рівні гіпотез, на кожному з яких виконуються умови (2.2). На першому рівні маємо гіпотези відносно стану погоди – гарна чи погана. Гіпотези другого рівня визначають тип майданчика – закритий чи відкритий.

Для обчислення ймовірності успіху за допомогою MS Excel можна запропонувати такий метод. На робочому аркуші MS Excel у вигляді рядків (як показано на рис. 2.2) запишемо всі повні шляхи, якими цей успіх досягається, та відповідні їм ймовірності. Кожний шлях має вихідний стан „Підприємець” і кінцевий стан – „Успіх”. Ці шляхи визначаються за множиною станів системи (див. рис. 2.1), якщо рухатися вздовж стрілок. Стани системи позначається прямокутником з відповідною назвою, а перехід із одного стану в інший – стрілкою, над якою підписана ймовірність даного переходу. На рис. 2.2 у рядку формул приведена формула обчислення ймовірності успіху, якщо торгівля відбувається на закритому майданчику за умов поганої погоди.

Рис. 2.2. Фрагмент робочого аркуша MS Excel, що містить