§2. Дифференциал функции

1. Понятие дифференциала

Из определения производной следует, что =у+α, где α=α(∆х) - БМФ при ∆х →0. Умножим левую и правую части данного выражения на ∆х, получим: ∆у=∆х·у+α·∆х.

Пусть у0, тогда первое слагаемое у·∆х - линейно по ∆х, т.к. у не зависит от ∆х. При ∆х→0 это слагаемое бесконечно мало, но порядок его малости ниже порядка малости 2-ого слагаемого, т.к. для всех у0

.

Поэтому слагаемое у·∆х является главной частью приращения функции.

Это слагаемое называют дифференциалом функции у= f(x) и обозначают dу или df(x). Таким образом

dу=у·∆х.

Найдем дифференциал независимой переменной: dx=xx=1·x=x. Значит, dx=x.

Тогда дифференциал функции у= f(x) равен

dу=у·dx.

2. Дифференциал сложной функции

Пусть у = f(U), где U =  (x), причем f(U) имеет производную по U, а  (x) – по х. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:

у = = f (U) ٠(x)

dу = f_u(U)٠(x)·dх, но (x)·dх = d(x)  dу=f(U)d .

Таким образом, дифференциация сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент ее был независимой переменной. Иначе говоря, формула записи дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формулы дифференциала.

3. Таблица формул для дифференциалов

Согласно формуле для нахождения дифференциала необходимо умножить производную на дифференциал независимой переменной: dу=у·dх. Это позволяет из таблицы формул для производных сразу получить соответствующую таблицу формул для дифференциалов, например, из формулы (U+V)=U+V, умножив обе части на dх, получим

(U+V)·dх=U·dх+V·dх

d(U+V)=dU+dV

Таблица дифференциалов

d(U·V)=V·dU+U·dV

d(c)=0

d(U^α)=α·U^α-1dU

d(sin U)=cos U·dU

d(cos U)=- sin U·dU

d(tg U)=

d(ctg U)=-

d(ln U)=

d(log_a U) =

d(a^u)=a^u·lna·dU

d(e^u)=e^u·dU

d(arcsin U)=

d(arccos U)=

d(arctg U)=

d(arcctg U)=

§3. Производные высших порядков

Производные у=f(x) данной дифференцируемой функции у=f(x) , называемая производной 1-ого порядка, представляет собой некую новую функцию. Возможно, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной 1-ого порядка называется производной второго порядка или 2-ой производной: у=(у) или f(x). Аналогично, если существует производная от производной 2-ого порядка, она называется производной третьего порядка или 3-ей производной: у=(у) или f(x) и т.д.

Вообще, производная от производной (n–1)-го порядка называется производной n–го порядка: у⁽ⁿ⁾ =(у^(n-1)).

§4. Возрастание и убывание функций. Максимумы и минимумы.

1. Возрастание и убывание функции.

Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) в интервале (а;b), если каковы бы ни были значения х₁ и х₂ из этого интервала, из неравенства х₂>х₁ вытекает неравенство f(х₂)>f(х₁) (f(х₂)f(х₁)).Если же для таких х₁ и х₂ из неравенства х₂>х₁ f(х₂)f(х₁) (f(х₂)f(х₁)), то функция f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на (а;b).

Функции всех этим типов носят общее название – монотонные.

Монотонные функции часто встречаются в различных исследованиях. Высота растущего дерева, например, или вес созревающего зерна – это монотонные неубывающие функции времени; освещенность, меняющаяся по мере удаления от источника света – монотонно убывающая функция расстояния. Существуют и не монотонные функции. Например, t^о воздуха в течение года – не монотонная функция времени, хотя на протяжении нескольких часов она может быть и монотонной, повышаясь к полудню или понижаясь к вечеру.

Теорема 1 (необходимое условие монотонности). Если функция у=f(x) дифференцируемая в интервале (а;b), не убывает (не возрастает) на нем, то ее производная в этом интервале неотрицательна (неположительна), т.е. f(x)0 (f(x)0).

Доказательство.

Пусть х- произвольное значение из интервала (а;b). Придадим этому значению х приращение х такое, чтобы точка х+х принадлежала интервалу (а;b). Если f(x) – неубывающая функция, то у0 при х>0 и у0 при х0 . В обоих случаях  0 и   0.

Если же f(x) – невозрастающая функция, то 0 и f(x)0.

Теорема 2 (достаточное условие монотонности). Если функция f(x), дифференцируемая в интервале (а;b) удовлетворяет в нем условию f(x)> 0 (f(x)0), то эта функция возрастает (убывает) в интервале (а;b).

Пример 1. Функция всюду возрастает, т.к. >0 х.

Пример 2. Функция у=х² убывает в промежутке (-; 0). Т.к. в этом промежутке у=2х0. Эта же функция в промежутке (0; +) возрастает, т.к. у=2х>0.

Учитывая определения убывающей и возрастающей на интервале функции, можно записать, что функция убывает на промежутке (-; 0] и возрастает на [0;+ ).