2. Максимумы и минимумы функции.

Функция f(x) имеет в т.х₀ максимум (минимум), если существует такая окрестность точки х₀ (х₀-; х₀+), что для всех х из этой окрестности, отличных от х₀, выполняется неравенство: f(x)f(х₀) (f(x)>f(х₀)). Иначе говоря, функция f(x) имеет в т. х₀ максимум (минимум), если для достаточно малого приращения х (любого знака) выполняется неравенство: f(x₀+х)f(х₀) (f(x₀+х)>f(х₀)).

Максимум и минимум функции называют экстремумами функции.

По определению максимума и минимума функции они могут достигаться лишь внутри области определения, концы сегментов области определяются не могут служить точками, в которых функция принимает экстремум.

Если исследуемая на экстремум функция дифференцируема, то изучение свойств ее производной дает возможность находить точки, в которых функция принимает экстремум.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если функция f(x), дифференцируемая в интервале (а;b), имеет в точке х₀ , ах₀b, экстремум, то её производная в этой точке равна 0: f(x)=0.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума). Если производная функции f(x) обращается в точке х₀ в 0 (такие точки называют критическими) и при переходе через эту точку в направлении возрастания х меняет знак + (-) на – (+), то в точке х₀ эта функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку х₀ производная функции f(x) не меняет знака, то в этой точке функция f(x) экстремума не имеет.

Отсюда следует такое правило исследования функции на экстремум с помощью 1-ой производной. Пусть в интервале (а;b) дана дифференцируемая функция f(x):

1) находим её производную f(x);

2) находим корни уравнения f(x)=0;

3) определяем знак f(x) слева и справа от каждого из этих корней и согласно Т.2 выносим заключение об экстремуме;

4) выясняем значение функции в точках экстремума.

П ример 1. Исследовать функцию f(x)=е^х–х на экстремум.

О бласть определения D(f)=R.

f(x)=е^х–1, е^х–1=0, е^х=1,

х=0 – критическая точка.

На интервале (-; 0] функция убывает, на интервале [0; +) функция возрастает. Точка х=0 – точка минимума, minf(x)=f(0)=e⁰=1.

Пример 2. Исследовать функцию f(x)=х³–3х+2 на экстремум.

Область определения D(f)=R.

f (x)=3х²–3, 3х²–3=0, х=1 – критические точки.

На интервалах (-;-1][1;+) функция возрастает, на интервале [-1;1] функция убывает. Точка х=-1 – точка минимума, точка х=1- точка максимума, minf(x)=f(-1)=4, maxf(x)=f(1)=0.

§5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. Тогда на этом отрезке функция f(x) достигнет наибольшего и наименьшего значений. Остановимся на наибольшем значении.

Если эта функция достигает наибольшего значения в интервале (а;b), то оно, очевидно, будет максимумом функции f(x). Но функция может достичь своего наибольшего значения на одном из концов отрезка [а;b]. Отсюда следует правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на [а;b]:

1. найти на интервале [а;b], все критические точки этой функции,

2. вычислить значения функции f(x) в критических точках и на концах отрезка [а;b],

3. из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Решение.

f(x)=2х³–9х²+2х–3 на [ ;3].

Найдем критические точки:

f(x)=6х²–18х+12, 6х²–18х+12=0,

х₁=1, х₂=2 – критические точки.

Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

f(1)=2; = ; f(2)=1; f(3)=66.

Следовательно, f_наим.=f(2)=1. f_наиб.=f(3)=66.

Пример 2. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону Р(t)=1000+ ; где время t – выражается в часах. Найти максимальный размер популяции.

Решение.

Р (t)= ; Р(t)=0 при t=10.

Следовательно, максимальный размер популяции составляет: Р(10)=1000+ =1050 и достигается по прошествии 10 ч роста.

7