0. 6.2. Метод Ньютона

Метод Ньютона применяется к решению систем урав­нений вида

f_i(х₁..., х_р) = 0, I = l , ..., р, (6.10)

или, в векторной форме,

F(x) = 0. (6.11)

Введем матрицу Якоби J(х) для функций f_i(х), I = l, ..., р, которые будем предполагать непрерывно дифференцируемыми:

…

J(x) = … . (6.12)

……………………………

…

Пусть задано начальное приближение х⁽⁰⁾. Вместо нелинейного уравнения (6.11) решаем линейное урав­нение

F(x⁽⁰⁾) – J(х⁽⁰⁾) (х-х⁽⁰⁾) = 0. (6.13)

Если det J (х⁽⁰⁾) ≠ 0, то уравнение (6.13) имеет единст­венное решение, которое обозначим х⁽¹⁾. Здесь удобно решать уравнение (6.13) относительно х⁽⁰⁾ = х - х⁽⁰⁾, а затем вычислять x^(l) = x⁽⁰⁾ + x⁽⁰⁾. Если найдено x^(т) то х^{(m + 1)} вычисляем по формуле x^(m+1) = х^(m) + х^(m), а по­правку х^(m) = ( х₁^(m), ..., х_p ^(т)) находим из системы

F(x^(m)) – J(х^(m)) (х-х^(m)) = 0.

которая в координатной форме имеет вид

f₁(х^(m)) + х₁^(m) + … + х_p^(m) = 0,

(6.14)

f_p(х^(m)) + х₁^(m) + … + х_p^(m) = 0.

Для системы второго порядка

f (x, y) = 0,

g (x, y) = 0

последовательные приближения по методу Ньютона вы­числяются по формулам

x_n+1 = x_n - , y_n+1 = y_n - ,

г де

f {х_п, у_п) f_y '(х_п, у_п)

А_n =

g(x_n, y_л) g_y'(x_n, y_n) ,

f_x '(х_п, у_п) f (х_п, у_п)

B_n =

g_x'(x_n, y_n) g(x_n, y_л) ,

f_x '(х_п, у_п) f_y '(х_п, у_п)

J_n = ≠ 0.

g_x'(x_n, y_n) g_y'(x_n, y_n)

Метод Ньютона сходится, если начальное приближе­ние выбрано удачно и матрица J(х*) невырожденна. На практике итерации обычно оканчивают, если ||x⁽ⁿ⁺¹⁾- х⁽ⁿ⁾|| ≤ ε. Для выбора начального приближения применяют графический метод, метод проб, метод табу­лирования и т. д.

Рис. 6.2

Пример. Найти решение системы

f (x, y) = х ³ - у² – 1 = 0,

g (x, y) = ху³ - у - 4 = 0

методом Ньютона с точностью ε =10^-3.

Р ешение. Графически находим начальное прибли­жение х_о=1,5, y₀ = 1,5 (рис. 6.2).

Матрица Якоби име­ет вид

3 х² - 2у

J(x,y) = .

у³ 3x у² - 1

Дальнейшие вычисления отражены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

п	хп yn	f (хп, уп) g(xn, yл)	Jп	Ап	Вn
0	1,5 1,5	0,12500 -0,43750	71,71875	-0,171875	-3,3750
1	1,502397 1,547059	-0,002170 + 0,015844	77,73277	0,0277998	0,1153255
2	1,5020396 1,545570	0,0000017 0,000019