Тема 5. Умовний екстремум, метод множників Лагранжа. Умовна оптимізація

Для функцій двох та більше змінних існує клас задач розвязання яких не має аналогів серед задач функції однієї змінної.

Коли говорить про мету виробника, або підприємця ясна річ мають на увазі максимальні прибутки… Споживачі купують товари не тільки з огляду на їх ціну, але й на їх корисність. Спробуємо створити математичну модель такої поведінки споживача. Попиту благ поставимо у відповідність число u і назвемо її корисність. Чим більшу оцінку дає споживач цим благам, тим більше це число. Пропустимо, що є два види товарів G₁ і G₂ і споживач купує перший товар у кількості х₁, а другий у кількості х₂ .U = u (x₁, x₂ ).

Приклад 1. Вибрати більш корисне з двох заданих значень функції, якщо u₁(3;7)=20 і u₂(4;5)=25 .Зрозуміло, що для споживача кориснішим буде u₂(4;5), бо 25 >20

Приклад 2: Нехай корисність задається залежністю

U(x₁, x₂)=x₁^1/4  x₂^3/4 , де x₁ і x₂ - кількість товару G₁ і G₂ придбаних споживачем. Необхідно визначити такі значення x₁ і x₂ при яких споживач отримає найбільше задоволення, тобто , знайти максимум корисності.

Зауважимо, що приведена функція не має максимуму при скінченому значенні змінних. Чим більша величина х₁, тим більше значення функції. Те ж саме відноситься до змінної х₂ . З іншого боку, досвід підказує, що необмежене придбання, яким би приємним воно не було, неможливе .Частіш за все стримуючим фактором є сімейний бюджет. Тому, наприклад, можна припустити, що при вартості одиниці товару G₁ і G₂ відповідно 2 і 3, загальна сума, виділена споживачем на їх придбання, складає 100. Первинна задача, відповідно, може бути сформульована таким чином:

Знайти максимум корисності U(x₁, x₂)=x₁^1/4  x₂^3/4 при умові (обмеженні): 2х₁+3х₂ =100

Зміст обмеження зрозумілий, коли перший товар купується в кількості х₁, по ціні 2, а другий - в кількості x₂ , по ціні 3, то загальні витрати, згідно з умовою, повинні дорівнювати 100.

В загальному випадку необхідно знайти екстремум деякої функції Z = f(x₁ ,x₂) яку в задачах оптимізації називають цільовою функцією, при умові (обмеженні) : g(x; y )= 0

Звідси і назва - умовна оптимізація, та умовний екстремум

Функція g(x ;y) вважається відомою.

Означегня: Для функції f(M) визначеній на множині V R ^n, точка M₀ називається точкою умовного локального мінімуму (максимальному) функції f(M) на множині V, якщо існує окіл Sr(M₀) точки M₀, такий що для всіх точок M S_r(M₀)∩V виконується нерівність f(M₀)≤f(M₀) (f(M₀)≥f(M)).

Точки умовного локального мінімуму та максимуму функції f(m) на множині V називаються точками умовного екстремуму функції f(m) на множині V.

Наприклад схематично умовний мінімум для функції z = f(x;y) двох змінних можна зобразити так;

Z

f(M)

.

f(M₀) y

V R_­²

x M₀ {x}

Sr(M₀); M

Точка екстремуму функції завжди є точкою умовного екстремуму.

Якщо ж точка умовного екстремуму функції f(M) на множині V є внутрішньою точкою цієї множини, то вона є точкою екстремуму функції f(M)

Розглянемо множину

Означення: Точка M₀ V називається умовно стаціонарною точкою функції f(M) на множині V, якщо в ній градієнт f(M) розкладається по градієнтам тих функції Ф_і(М), які в точці М₀ перетворюються в 0.

Приклад 1. Доведіть, що точка М₀(4;6) є умовно стаціонарною точкою функції f(M) = (x-2)² + (y-3)² на множині

Доведення:

Обчислимо: Ф(М₀) = 4² + 6² - 52 = 16 + 36 - 52 = 0

grad

grad тобто grad

Приклад 2. .Нехай виробнича функція записана в загальному випадку Q = f(К, L) , де Q – кількість вироблених товарів та послуг К, L - капітал та прикладений труд. Знайти максимум даної функції при умові( обмеженні по витратах): Р_к К+Р _L L = М, де М - фіксована сума коштів, Рк - ціна одиниці капіталу (основних фондів) , P_L - ціна одиниці труда .

Розглянемо геометричну інтерпретацію розв‘язку цієї задачі

К капітал

A

K₀

^{ ( труд.}

О L₀ L

На малюнку зображені ізокванти, тобто лінії, в кожній точці яких різні сполучення капіталу і прикладеного труда дають одну і ту ж кількість виробленої продукції. На цьому ж малюнку побудована пряма цільової функції Р_к К + Р _LL = М

Пряма перетинає ізокванти в деяких точках. І є одна ізокванта, до якої дана пряма тільки дотикається. Вона розташована далі від початку координат, відносно попередніх ізоквант, що перетинаються цією прямою, тому вона відповідатиме найбільшому випуску продукції. Звідси можна зробити висновок, що точка А(К_0, L₀) і дасть розв’язок задачі. Величина витрат на капітал К₀ і труд L₀ оптимальні з точки зору максимального випуску продукції при обмеженні по витратах, що дорівнюють М.

Відомо що, нахил ізокванти дорівнює коефіцієнту замінності ресурсів взятого з протилежним знаком, і визначається за формулою:

З іншого боку в точці дотику А нахил ізокванти і нахил прямої (обмеження по витратам) співпадають, тому в точці умовного екстремуму виконується рівність:

При всій наочності викладеного способу знаходження умовного екстремуму, з практичної точки зору він не дуже зручний. Існують більш спрощені методи розв’язання задач умовної оптимізації, це так званий метод підстановки.