Тема 3. Границя функції. Особливості границі. Розкриття невизначеностей. §1. Означення границі функції. Односторонні границі

Розглянемо просту лінійну функцію y = f(x) = 2x і задамо питання, до якого числа b наближатимуться значення цієї функції, якщо значення змінної х наближатимуться до числа 3. Для відповіді візьмемо декілька значень х, обчислимо відповідні їм значення f(x) та занесемо результати в таблицю:

X	2,0	2,5	2,9	2,99	2,999	2,9999
Y=f(x)=2x	4,0	5,0	5,8	5,98	5,998	5,9998

З таблиці видно, що значення функції наближуються до числа 6. З таблиці також видно, що значення змінної х наближуються до числа 3 “зліва” ( по числовій осі), тобто зі сторони чисел, менших числа 3. Можна взяти значення х “справа” ( на числовій осі), тобто більші за число 3, як показано в наступній таблиці:

X	4,0	3,5	3,1	3,01	3,001	3,0001
Y=f(x)=2x	8,0	7,0	6,2	6,02	6,002	6,0002

Числа в таблиці отримали інші, але зрозуміло, що значення функції як і раніш наближаються до числа 6. Математичними символами цей факт записують так: Lim (2x) = 6

^x3

і читають: границя функції 2х, коли х прямує до 3, дорівнює 6. Значення слів “х прямує до 3” такий: значення змінної х скільки завгодно близько наближується до числа 3. Дамо тепер загальне означення.

Означення: Функція f(x) має границю b, коли х прямує до а, якщо значення f(x) скільки завгодно близько наближаються до числа b , при умові, що значення змінної х скільки завгодно близько наближається до числа а.

Означення: Число b називають правою ( лівою ) границею функції f в точці а, якщо

Позначають праву границю символом

Позначають ліву границю символом

y

b+e

b

b-e f(x)

0 а- а а+ Х

В математичних символах це означення можна записати так:

Слід відзначити, що в цих означеннях розглядаються значення х, скільки завгодно близькі до числа а, але не співпадаючі з числом а

Якщо ж функція f(x) визначена в точці а і виконується рівність то f(x) називається неперервною функцією в точці а.

Означення: Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення, називається неперервною функцією.

Наведене вище означення границі функції корисно узагальнити на той випадок, коли значення х можуть ставати скільки завгодно великими.

А саме:

Означення: Функція f(x) має границю, рівну числу b , коли х прямує до безмежності, якщо значення функції скільки завгодно близько наближаються до числа b , при умові, що значення х ставатимуть скільки завгодно великими.

За допомогою математичних символів це означення можна записати так: Символ означає “безмежно велику величину”.

Змінна х може необмежено прямувати в сторону від`ємних значень. Тоді відповідна формула набуває вигляду:

тобто, перед символом  ставиться знак мінус. Як приклад приведемо графіки уже відомих нам показникових функцій.

Y

1

0 X

Хоча графіки показникових функцій можуть скільки завгодно близько наближатись до осі OХ, вони її ніколи не перетинатимуть і не дотикатимуться. Прямі лінії, до яких графіки функцій можуть необмежено наближатись, не перетинаючи і не дотикаючись до них, називаються асимптотами. Таким чином, вісь ОХ є горизонтальною асимптотою показникової функції.

Розглянемо ще так звані безмежні границі, а саме необмежене зростання функції, коли незалежна змінна х скільки завгодно близько наближається до числа а. В цьому випадку використовують позначення або, якщо значення функції необмежено спадає,

Останній випадок наочно іллюструє графік логарифмічної функції, приведений на малюнку

У

0 1 Х

В даному випадку значення логарифмічної функції необмежено спадають, коли х наближається до нуля. Одночасно графік функції скільки завгодно близько наближається до осі ОУ, не перетинаючи і не дотикаясь до неї. Звідси можна зробити висновок , що вісь ОУ є вертикальною асимптотою логарифмічної функції.