Тема 4. Неперервність функції. Властивості неперервних функцій. Розриви функцій.

Неперервна функція в точці (x=а) - якщо границя функці ї f(x ) при x a існує і співпадає з значенням функції в самій точці а, тобто

Наприклад: f (x) = x² при х  3

Y

lim x² = 9  f (3) = 9

9 x3

0 3 x lim x²= f (3) = 9

x3

Неперервна функція в точці (x=а) - якщо безмежно малому приросту аргументу х0 в точці а відповідатиме безмежно малий приріст функції f(х)  0

Необхідна та достатня умови неперервності функції в точці х0:

1.Функція повинна бути визначеною в деякому інтервалі, що містить точку х₀ (тобто в самій точці та в її околі)

2. Функція повинна мати однакові односторонні границі, тобто

3. Значення односторонніх границь повинно співпадати с значенням функції в точці х₀.

= f(x₀)

Розривна функція в точці х₀ - якщо вона визначена в скільки завгодно малому околі точки х₀, але в самій точці х₀ не задовольняє хоча б одній з умов неперервності

Р озрив I роду в точці х₀ (без стрибка)- якщо існують скінченні односторонні границі і вони рівні між собою = b y

b

0 a x

Р озрив I роду в точці х₀ (з стрибком) - якщо існують скінченні односторонні границі і вони не рівні між собою y

b

a

0 x₀ x

Стрибок функції в точці х₀ - різниця між правосторонньою

та лівосторонньою границями функції в точці х₀

= b - a= с

Розрив II роду в точці х₀ - всі інші можливі випадки розриву функції , тобто , якщо

У

0 x

Зауваження до дослідження точок розриву функції:

1. Елементарна функція може мати розриви тільки в окремих точках, але не може бути розривною в усіх точках деякого інтервалу.

2. Елементарна функція може мати розрив тільки в тій точці де вона не визначена, при умові , що вона буде визначеною хоча б з однієї сторони від цієї точки.

3. Неелементарна функція може мати розриви як в точках де вона не визначена, так і в точках де вона є визначеною, зокрема, якщо функцію задано декількома різними аналітичними виразами для різних інтервалів зміни аргументу, то така функція може мати розриви в точках зміни аналітичних виразів.

Наприклад: 1). Дослідити на неперервність функцію

у точці x₀ = 2

Розв’язання.

Оскільки lim f ( x) = f (2), то f(x) – неперервна при x₀ = 2.

2). Дослідити на неперервність

Розв’язання.

Оскільки функція задана різними формулами на різних проміжках, на кожному з яких вона як елементарна є неперервною, то розрив можливий лише в точці x₀ = 0.

l im (x²+1) = 1 = f (0)

x0-0

l im (x -1) = -1  f (0)

x0+0 У

x₀ = 0 – точка розриву першого роду. 1

0 x

-1

3). Дослідити функцію на неперервність.

Розв’язання.

D (f) = (-; 0 )  (0; ); f(0) – не існує

y

;

1

0 Х

Отже згідно з класифікацією точок розриву x₀ = 0 – точкою розриву другого роду.