2. Множественная регрессия

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

,

где y- зависимая переменная (результативный признак);

- независимые переменные (факторы).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов. Для линейных уравнений строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для ее решения может быть применен метод определителей:

….,

где - определитель системы;

- частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

где - стандартизованные переменные;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии определяются из следующей системы уравнений:

Связь коэффициентов множественной регрессии со стандартизованными коэффициентами описывается соотношением

.

Параметр a определяется как .

На практике часто бывает необходимо сравнение влияния на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются разными единицами измерения. В этом случае используют коэффициент эластичности, который показывает на сколько процентов (от средней) измениться в среднем Y при увеличении только на 1%:

.

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

.

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

,

а для уравнения в стандартизованном масштабе:

.

Для проверки общего качества уравнения регрессии используется коэффициент множественной детерминации, который рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F – критерия Фишера:

,

где n – число наблюдений;

m – число факторов.

Частный F – критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении:

.

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью t- критерия Стьюдента сводится к вычислению значения .

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример

Дана множественная регрессия z=a+b1*x+b2*y, где x, y, z приведены в таблице.

z	х	у
60,34	2,3	6,33
58,89	3,33	0,03
56,74	3,16	0,23
43,97	2,43	0,15
25,93	1,34	0,28
34,38	1,68	1,17
60,47	1,91	8,58
78,32	3,54	5,29
54,94	2,64	2,53
68,3	3,42	2,59
21,96	1,12	0,22
40,97	1,94	1,89
82,15	3,3	7,9
23,42	1,05	1,08
48,46	2,31	2,35

Задание

1. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Рассчитайте коэффициенты множественной детерминации, используя в качестве зависимой переменой каждый фактор.

2. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов.

3. Оцените статическую значимость по уравнению регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

Решение

1.1 Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого:

• в главном меню последовательно выберем пункты Сервис/Анализ данных/Корреляция. Щелкнем по кнопке ОК;

• заполним диалоговое окно ввода данных и параметров вывода

• результаты вычислений – матрица коэффициентов парной корреляции – представлены в табл.

Матрица коэффициентов парной корреляции
	z	x	y
z	1
x	0,894011939	1
y	0,668907272	0,264986117	1

1.2 Для того, чтобы рассчитать коэффициенты множественной детерминации необходимо найти

1= =0,770891

2= = 0,464632

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов r_zx, r_zy и 1, 2:

R_zxy= = =0,999991

Коэффициент детерминации:

R_zxy²=0,999992²=0,999981.

2. Линейное уравнение множественной регрессии z от х и у имеет вид:

z=a+b1*x+b2*y. Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизированном масштабе: t_z=1*t_x+2*t_y

Получим уравнение:

t_z=0,770891*t_x+0,464632*t_y

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b1, b2, используя формулы для перехода от _i к b_i:

_i=b_{i ,} b_i=_{i ,}

где _x,z,y - стандартные отклонения по х, у, z

b₁= =17,00657

b₂= =3,001403

Значение а определим из соотношения:

a=z-b₁*x-b₂*y=50,616-17,00657*2,364666667-3,001403*2,708=2,273329

z_xy=2,273329+17,00657*x+3,001403*y

3. Общий F-критерий Фишера проверяет гипотезу H₀ о статистической значимость уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R²=0):

F_факт= 321637

где n-число наблюдений,

m – число факторов.

F-табл=3,88 ,=0,05

Сравнивая F_табл и F_факт, приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу H₀, так как F_табл =3,88<F_факт=321637. С вероятностью 1-=0,95 делаем заключение о статической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи R_zxy, которые сформировались под неслучайным воздействием факторов х и у.

Частные F-критерии – F_x и F_y оценивают статистическую значимость присутствия факторов х и у в уравнении регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора.

F_xфакт= =355444,1

F_табл=4,75 =0,05

Сравнивая F_табл и F_факт, приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора х после фактора у, так как F_хфакт=3554444,1 >F_табл. Гипотезу H₀ о несущественности прироста R²_z за счет включения дополнительного фактора х отклоняем и приходим к выводу о статически полтвержденной целесообразности включения фактора х после у.

Целесообразность включения фактора у после фактора х проверяет F_y:

F_yфакт= =129122,9

Низкое значение F_yфакт свидетельствует о статистической незначимости прироста r²_zx за счет включения в модель фактора у после фактора х. Следовательно, подтверждается нулевая гипотеза H₀ о нецелесообразности включения в модель фактора у. Это означает, что парная регрессионная модель является статистически значимой и, что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор у.

Оценка с помощью t-критерия Стьюдента: рассчитывается для коэффициентов регрессии линейного уравнения как квадратный корень из соответствующего частного F-критерия Фишера:

t_b1= 596,1913;

t_b2= 359,3368

=0,05 df=15-2-1=12, t_табл=2,1788. Сравнивая t_табл и t_факт , приходим к выводу, что так как t_b1 и t_b2 >2,1788, коэффициенты регрессии b1, b2 являются статистически значимыми, надежными, на них можно опираться в анализе и прогнозе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.

2. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения и показателей тесноты связи проверьте с помощью F-критерия.

4. Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

5. Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и на их основе и по t-критерию для коэффициентов регрессии отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

6. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

7. Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10%(λ=0,05; λ=0,10).

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 1

Имеются следующие данные по сельскохозяйственным предприятиям районов Пензенской области за 2000 г.

	Производство молока, тонн, y	Поголовье коров в с/х предприятиях, голов, x1	Надоено молока в расчете на 1 корову молочного стада, кг., x2
Башмаковский	8617	4513	1981
Б-Демьяновский	2775	2125	1317
Бековский	1567	1531	1208
Белинский	6929	5742	1298
Бессоновский	10461	4566	2375
Вадинский	1992	2590	954
Городищенский	5348	3987	1269
Земетченский	3791	2842	1276
Иссинский	2679	2283	1241
Каменский	13727	7570	1852
Камешкирский	2642	2047	1305
Колышлейский	7084	4889	1492
Кондольский	2828	1801	1608
Кузнецкий	6989	3295	2128
Лопатинский	5086	3635	1288
Лунинский	6827	3145	2191
М-Сердобинский	1648	1367	1248
Мокшанский	7591	5240	1533
Наровчатский	4261	3230	1381
Неверкинский	3747	2977	1386
Н-Ломовский	6159	4471	1476
Никольский	5424	3389	1754
Пачелмский	4176	2572	1623
Пензенский	23702	8488	2869
Сердобский	7874	3841	2027
Сосновоборский	1685	1815	1007
Тамалинский	9485	6659	1458
Шемышейский	3078	2065	1475

Задача 2

Имеются следующие данные по Пензенской области

	Валовой сбор сахарной свеклы, тыс. тонн, y	Урожайность сахарной свеклы, ц/га, x1	Посевные площади сахарной свеклы, тыс. га, x2	Минеральные удобрения, кг, x3
1990	604,3	140	55,5		73,1
1991	634,1	116	55,0		62,1
1992	829,0	155	51,9		45,6
1993	613,7	149	39,5		26,2
1994	286,3	77	40,1		6,2
1995	522,5	140	39,4		4,5
1996	400,7	117	35,1		1,7
1997	303,3	110	33,6		2,8
1998	317,5	99	52,7		1,6
1999	633,3	129	46,4		1,9
2000	387,0	114	33,7		3,1
2001	391,7	127	36,3		3,1
2002	355,6	120	57,3		7,8

Задача 3

По Пензенской области известны значения пяти признаков

Год	Численность постоянного населения, тыс. чел.,y	Число родившихся, чел., x1	Число умерших, чел., x2	Число иммигрантов, тыс. чел., x3	Число эмигрантов, тыс. чел., x4
1990	1547,3	19431	17564	9562	2956
1991	1552,0	17584	18600	11258	2658
1992	1554,3	15634	19556	12462	2222
1993	1561,8	13772	22939	2568	2128
1994	1563,3	13500	25158	1998	2019
1995	1566,0	12817	23427	1765	1765
1996	1562,1	11999	23268	2135	1562
1997	1558,6	11517	23050	3251	1256
1998	1551,2	11568	22516	4964	1163
1999	1546,3	11034	24820	4568	956
2000	1530,6	11172	25331	3465	799
2001	1517,6	11080	24680	2126	599
2002	1504,1	11645	25584	1610	502
2003	1449,2	12150	25801	1521	417
2004	1406,3	12251	25711	1375	357

Задача 4

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни населения г. Пенза от нескольких факторов по данным, представленным в таблице

Год	y	x1	x2	x3
1991	66,2	0,38	282	16,5
1992	64,3	2,3	244	16,8
1993	65,1	28,4	219	17,4
1994	64,0	86,5	208	17,3
1995	64,6	125,3	190	17,4
1996	65,9	256,2	180	17,6
1997	66,2	488,4	190	17,9
1998	66,7	549,7	166	18,3
1999	66,3	856,6	172	19,1
2000	66,5	1259,9	135	19,8
2001	66,0	1708,3	171	20,1
2002	65,7	2221,4	164	21,3
2003	65,7	2764,9	183	21,4
2004	64,5	3414,2	156	21,6

y- ожидаемая продолжительность жизни при рождении, число лет

x1- денежные доходы (в среднем на душу в месяц, руб.)

x2- число детей, умерших в возрасте до 1 года, чел

x3- средняя обеспеченность населения жильем, м² на 1 жителя

Задача 5

Имеются следующие данные по Пензенской области

Год	Валовой сбор зерна, тыс. тонн, y	Урожайность зерна, ц/га, x1	Посевные площади зерна, тыс. га, x2	Минеральные удобрения, кг, x3
1990	1841,2	16,3	1358,7	73,1
1991	1321,3	10,7	1282,4	62,1
1992	2102,2	16,4	1293,6	45,6
1993	1485,3	13,6	1250,4	26,2
1994	1355,0	13,5	1050,5	6,2
1995	873,3	8,3	1150,2	4,5
1996	1257,1	12,0	1090,0	1,7
1997	1781,3	16,7	1076,7	2,8
1998	762,0	9,6	1070,5	1,6
1999	835,5	12,8	980,3	1,9
2000	840,3	10,5	823,4	3,1
2001	1046,4	15,1	756,3	3,1
2002	1170,5	15,5	790,6	7,8

Задача 6

Имеются следующие данные по Пензенской области

Года	Среднедушевые денежные доходы населения, руб. (до 1998 г. тыс. руб.), Y	Средний размер назначенных месячных пенсий, руб. (до 1998 г. тыс. руб.), X1	Средняя номинальная начисленная заработная плата, руб. (до 1998 г. тыс. руб.), X2
1990	0,19	0,11	0,25
1991	0,39	0,41	0,43
1992	2,4	3,4	3,6
1993	29,1	38,9	35,0
1994	112,8	106,4	123,2
1995	301	212,2	261,2
1996	451	288,0	444,1
1997	562	328,9	546,0
1998	541	382,7	598,2
1999	936	495,0	911,4
2000	1234	801,2	1258,0
2001	1668	1113,6	1752,3
2002	2163	1395,6	2501,1

Задача 7

Имеются следующие данные по Пензенской области

Год	Валовой региональный продукт, млн. руб., (до 1998г.-млрд.руб.), Y	Объем промышленной продукции, млн. руб., (до 1998г.-млрд.руб.), X1	Продукция сельского хозяйства, млн. руб., (до 1998г.-млрд.руб.), X2	Оборот розничной торговли, млн. руб., (до 1998г.-млрд.руб.), X3
1990	9,3	4,5	3,4	2,2
1991	29,9	9,8	3,7	21
1992	331,2	96,4	39,3	215
1993	1256,9	712	282	825
1994	3165,5	1934	968	2568
1995	7475,3	5086	2483	3872
1996	11390,7	6917	3514	5302
1997	11898,4	8279	3666	6269
1998	11433,6	7596	3103	6654
1999	19652,3	12674	7151	11054
2000	27377,9	17895	7883	13763,5
2001	34552,6	22226	10254	17090,1
2002	48354,6	24718	11982	20910,0

Задача 8

Имеются следующие данные по Пензенской области

Год	Доходы бюджета, млн. руб., (до 1998г.-млрд.руб.), Y	Расходы бюджета, млн. руб., (до 1998г.-млрд.руб.), X1	Поступления налогов и сборов, млн. руб., (до 1998г.-млрд.руб.), X2
1990	10,8	11,1	12,2
1991	11,3	11,5	12,6
1992	12,8	12,9	14,5
1993	138	701	756,9
1994	446	644	665,2
1995	1241	1322,3	1482,3
1996	1804	1785,4	2034,8
1997	2071,9	2287,7	2538,4
1998	1817	1775,6	2124,7
1999	2663,9	2668,1	3685,6
2000	3518,4	3395,6	4108,4
2001	5757,8	5678	5909,3
2002	8557,9	8447,2	9148,6

Задача 9

Имеются следующие данные по Пензенской области

Год	Численность населения в трудоспособном возрасте, тыс. чел.,Y	Численность постоянного населения, тыс. чел.,X1	Среднедушевые денежные доходы населения, руб. (до 1998 г. тыс. руб.), X2
1990	840,4	1547,3	0,19
1991	840,2	1552,0	0,39
1992	845,4	1554,3	2,4
1993	871,9	1561,8	29,1
1994	876,4	1563,3	112,8
1995	876,8	1566,0	301
1996	874,6	1562,1	451
1997	878,4	1558,6	562
1998	884,0	1551,2	541
1999	890,3	1546,3	936
2000	894,6	1530,6	1234
2001	892,3	1517,6	1668
2002	889,1	1504,1	2163

Задача 10

Имеются следующие данные по Пензенской области

Год	Численность населения в трудоспособном возрасте, тыс. чел.,Y	Численность постоянного населения, тыс. чел.,X1	Численность безработных, тыс. чел., X2	Численность зарегистрированных безработных, тыс. чел., X3
1990	840,4	1547,3	29,4	9,1
1991	840,2	1552,0	34,7	9,9
1992	845,4	1554,3	37,0	11,6
1993	871,9	1561,8	47,5	17,5
1994	876,4	1563,3	64,8	30,6
1995	876,8	1566,0	102,6	47,0
1996	874,6	1562,1	108,3	46,4
1997	878,4	1558,6	83,8	41,0
1998	884,0	1551,2	122,1	27,4
1999	890,3	1546,3	79,5	14,2
2000	894,6	1530,6	86,3	12,6
2001	892,3	1517,6	103,9	13,2
2002	889,1	1504,1	53,1	19,1

Задача 11

Имеются следующие данные по Пензенской области

Год	Продукция сельского хозяйства, млн. руб., (до 1998г.-млрд.руб.), Y	Продукция растениеводства, млн. руб., (до 1998г.-млрд.руб.), X1	Продукция животноводства, млн. руб., (до 1998г.-млрд.руб.), X2
1990	3,4	1,5	1,9
1991	3,7	1,6	2,1
1992	39,3	19,5	19,8
1993	282	128,1	153,6
1994	968	480,4	487,3
1995	2483	1252,7	1230,7
1996	3514	2106,9	1407,3
1997	3666	2198,9	1466,4
1998	3103	1540,8	1513,0
1999	7151	3949,2	3067,1
2000	7883	4545,5	3337,5
2001	10254	5452,8	4801,2
2002	11982	6740,0	5242,0

Задача 12

Имеются следующие данные по Пензенской области

Год	Численность постоянного населения, тыс. чел.,Y	Численность городского населения, тыс. чел.,X1	Численность сельского населения, тыс. чел.,X2
1990	1547,3	983,5	563,8
1991	1552,0	987,6	564,4
1992	1554,3	989,8	564,5
1993	1561,8	991,3	570,5
1994	1563,3	997,4	565,9
1995	1566,0	998,0	568
1996	1562,1	995,7	566,4
1997	1558,6	993,7	564,9
1998	1551,2	989,4	561,8
1999	1546,3	984,2	562,1
2000	1530,6	980,1	550,5
2001	1517,6	979,2	538,4
2002	1504,1	973,4	530,7

Задача 13

Имеются следующие данные по Пензенской области

Год	Число собственных легковых автомобилей на 1000 чел. населения, штук, Y	Среднедушевые денежные доходы населения, руб. (до 1998 г. тыс. руб.), X1	Средняя номинальная начисленная заработная плата, руб. (до 1998 г. тыс. руб.), X2
1990	47,2	0,19	0,25
1991	51,6	0,39	0,43
1992	58,2	2,4	3,6
1993	57,0	29,1	35,0
1994	64,4	112,8	123,2
1995	68,7	301	261,2
1996	77,7	451	444,1
1997	80,7	562	546,0
1998	87,4	541	598,2
1999	92,6	936	911,4
2000	101,2	1234	1258,0
2001	104,8	1668	1752,3
2002	108,8	2163	2501,1

Задача 14

Известны следующие данные по г.Пенза.

Год	Перевозки пассажиров автобусами общего пользования, млн. чел., Y	Число автобусов общего пользования на 100000 чел., штук, X1	Численность городского населения, тыс. чел.,X2
1990	252,7	113	983,5
1991	226,2	97	987,6
1992	186,7	91	989,8
1993	178,4	89	991,3
1994	151,0	85	997,4
1995	231,9	98	998,0
1996	243,2	97	995,7
1997	247,2	96	993,7
1998	249,0	99	989,4
1999	252,7	96	984,2
2000	226,6	92	980,1
2001	205,2	86	979,2
2002	127,1	82	973,4

Задача 15

Имеются следующие данные по г. Пенза.

Год	Средняя обеспеченность населения жильем, м^2на 1 жителя, Y	Наличие жилищного фонда, тыс. м^2, X1	Численность городского населения, тыс. чел.,X2
1990	14,1	8012,9	983,5
1991	14,7	8124,5	987,6
1992	15,0	8303,2	989,8
1993	15,5	8566,0	991,3
1994	16,3	8726,3	997,4
1995	16,9	8952,5	998,0
1996	17,3	9125,3	995,7
1997	17,5	9275,0	993,7
1998	17,8	9391,0	989,4
1999	18,1	9462,1	984,2
2000	18,3	9628,0	980,1
2001	18,6	9743,7	979,2
2002	19,1	9987,9	973,4