2.3. Предварительные понятия:
Средняя длина свободного пробега
Эффективный диаметр молекулы
Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Термин «столкновение» применительно к молекулам не следует понимать буквально и представлять себе этот процесс подобным соударению твердых шаров. Под столкновением молекул подразумевают процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения.
На рис.1 показана кривая, изображающая взаимную потенциальную энергию двух молекул как функцию расстояния r между их центрами.
Рассмотрим с помощью этой кривой процесс сближения (соударения) молекул.
Поместим мысленно центр одной из молекул в начало координат, а центр второй молекулы представим перемещающимся по оси r.
Пусть вторая молекула летит по направлению к первой из бесконечности, имея начальный запас кинетической энергии .
Приближаясь к первой молекуле, вторая под действием силы притяжения движется с все возрастающей скоростью. В результате:
- кинетическая энергия молекулы также растет.
- полная энергия системы, равная , остается неизменной (система двух молекул замкнута) и равной , так как одновременно уменьшается потенциальная энергия .
При прохождении молекулой точки с координатой силы притяжения сменяются силами отталкивания, вследствие чего молекула начинает быстро терять скорость (в области отталкивания кривая идет очень круто). В момент, когда потенциальная энергия становится равной полной энергии системы , скорость молекулы обращается в нуль. В этот момент имеет место наибольшее сближение молекул друг с другом.
После остановки молекулы все явления протекают в обратной последовательности: сначала молекула движется с все возрастающей скоростью под действием силы отталкивания; миновав расстояние , молекула попадает под действие замедляющей ее движение силы притяжения и, наконец, удаляется на бесконечность, имея первоначальный запас кинетической энергии .
Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 2).
Величина называется эффективным сечением молекулы .
Таким образом, эффективный диаметр молекул зависит от их энергии, а следовательно, и от температуры. С повышением температуры эффективный диаметр молекул уменьшается.
За время между двумя последовательными соударениями молекула газа проходит некоторый путь , который называется длиной свободного пробега.
Длина свободного пробега — случайная величина. Иной раз молекуле удается пролететь между соударениями довольно большой путь, в другой раз этот путь может оказаться весьма малым.
Найдем вероятность различных значений .
Вероятность dP того, что молекула испытает соударение на отрезке пути ds, очевидно, пропорциональна величине этого отрезка и не зависит от того, какой путь уже прошла молекула без столкновений.
Взяв коэффициент пропорциональности в виде , получим, что
Вероятность — безразмерная величина, следовательно,
λ- имеет размерность длины.
Пусть из полного числа молекул путь s пролетели без столкновения N(s) молекул.
Из их числа претерпевает соударения на следующем за s отрезке ds количество молекул, равное .
Это количество представляет собой убыль величины N(s) на отрезке ds, т. е. – dN(s).
Таким образом,
Проинтегрировав, получаем .
Здесь = N(0) — число молекул, прошедших без столкновений путь, равный нулю, т. е. полное число молекул.
Отношение N(s) к дает вероятность P(s) того, что молекула пролетит, начиная с некоторого выбранного произвольно момента времени, путь s без столкновений:
Найдем среднее значение длины свободного пробега .
Для этого нужно знать вероятность dPl того, что молекула, пролетев без столкновений путь , претерпит соударение на следующем за отрезке d .
Оба эти события, т. е. пролет без столкновений пути и соударение на отрезке d , статистически независимы. Следовательно, dPl равна произведению вероятностей двух указанных событий.
Вероятность первого события равна .
Вероятность второго события в соответствии равна .
Таким образом,
Среднее значение :
Таким образом, обозначенная нами буквой λ величина совпадает со средней длиной свободного пробега.
За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости .
Если за секунду она претерпевает в среднем столкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна
Д ля того чтобы подсчитать среднее число столкновений ,
предположим вначале, что все молекулы, кроме данной, застыли неподвижно на своих местах.
Проследим за движением выделенной нами молекулы.
- Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнется с какой-либо другой неподвижной молекулой (рис.3).
- Это соударение произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулы d.
- В результате столкновения молекула изменит направление своего движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно, пока на ее пути снова не встретится молекула, центр которой будет находиться в пределах показанного на рис.3 цилиндра радиуса d.
За секунду молекула проходит путь, равный .
Число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длины и радиуса d.
Средняя длина свободного пробега много больше, чем эффективный диаметр молекул d.
Поэтому объем цилиндра можно считать равным πd2 .
Умножив этот объем на число молекул в единице объема n, получим среднее число столкновений за секунду движущейся молекулы с неподвижными:
В действительности все молекулы движутся, и число соударений определяется средней скоростью движения молекул по отношению друг к другу, а не средней скоростью молекул относительно стенок сосуда.
Относительная скорость двух произвольно взятых молекул равна
Возведя это соотношение в квадрат, получим
Начало формы
Конец формы
(мы воспользовались тем, что ).
Среднее значение суммы нескольких величин равно сумме средних значений складываемых величин. Поэтому
События, заключающиеся в том, что первая молекула имеет скорость , а вторая — скорость , являются статистически независимыми.
Поэтому .
Для газа, находящегося в равновесии, каждый из сомножителей равен нулю. Таким образом,
(среднее значение квадрата скорости всех молекул одинаково и равно ).
Среднее число столкновений за секунду
и средняя длина свободного пробега:
Заменив πd2 через σ (где эффективное сечение молекулы) , получаем
При постоянной температуре n пропорционально р (р=nkT).
Следовательно, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:
Эффективный диаметр молекул убывает с ростом температуры, поэтому при повышении температуры длина свободного пробега увеличивается.