2.8. Описание простого вращения а.Т.Т. (осевого вращения)

Рассмотрим модель абсолютно твердого тела (а.т.т.). Вращательное движения а.т.т. подразделяется на простое вращательное движение и общее вращательное движение.

При простом вращательном движении все точки твердого тела описывают окружности в параллельных плоскостях; центры этих окружностей лежат на одной прямой, называемой осью вращения (рис. 2.8).

Ось вращения фиксирована. Не следует путать простое вращательное движение относительно оси, лежащей вне тела, и поступательное движение а.т.т., при котором возможна траектория в виде окружности (орбита).

Для описания положения каждой точки а.т.т. при простом вращательном движении достаточно задать одну координату – угол поворота радиуса окружности, по которой двигается точка А. Действительно, при простом вращательном движении все точки тела движутся только в плоскостях, т.е. движение должно описываться двумя уравнениями движения. Но = сonst, а угол одинаков для всех точек. Твердое тело при этом движении обладает одной степенью свободы. Уравнение простого вращательного движения а.т.т. относительно оси z при координатном способе записи

. (2.33)

Рис. 2.15. Простое (осевое) вращение а.т.т. – вектор угла поворота

Это уравнение дает возможность определить угол поворота а.т.т. вокруг оси в любой момент времени, но не дает ответа на вопрос, в каком направлении вращается а.т.т. Вводится вектор угла поворота, длина которого численно равна углу в радианах, а направление совпадает с направлением оси вращения в соответствии с правилом правого винта (см. рис. 2.8).

В векторном способе записи уравнение простого вращательного движения а.т.т.:

. (2.34)

В общем случае твердое тело может находиться во вращении относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке. Это вращение относительно неподвижной точки, при котором все точки а.т.т. движутся по поверхности концентрических сфер с центрами в фиксированной точке. Такое движение а.т.т. называется общим вращательным движением.

2.9. Угловая скорость

Угловую скорость мы рассмотрим на примере простого вращения а.т.т., которое характеризуется вектором углового перемещения , модуль которого численно равен величине изменения угла поворота в радианах, а направление совпадает с направлением оси вращения в соответствии с правилом правого винта.

угловая скорость (средняя) равна

, (2.35)

где  – вектор углового перемещения;

 – промежуток времени, в течение которого происходит это перемещение.

Угловой скоростью (мгновенной) а.т.т. в любой момент времени при вращательном движении называется предел, к которому стремится отношение вектора углового перемещения за промежуток времени к этому промежутку при беспредельном уменьшении последнего:

(2.36)

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта (рис. 2.9).

Рис. 2.16. Векторы углового перемещения и угловой скорости

2.10. Угловое ускорение

Рассмотрим вращательное движение а.т.т. По аналогии с линейным ускорением угловым ускорением а.т.т. называется векторная физическая величина , определяющая быстроту изменения угловой скорости.

Угловое ускорение (среднее) определяется по формуле

. (2.37)

где – изменение угловой скорости.

Угловое ускорение – величина векторная, так как  – вектор. Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором .

Угловым ускорением (мгновенным) а.т.т. в любой момент времени при вращательном движении называется предел, к которому стремится отношение изменения угловой скорости за промежуток времени к этому промежутку при беспредельном уменьшении последнего:

. (2.38)

а б

Рис. 2.17. Векторы угловой скорости и углового ускорения при ускоренном (а) и замедленном (б) вращениях

В соответствии с этим определением при ускоренном вращении векторы совпадают по направлению, а при замедленном вращении противоположны по направлению (рис. 2.10).