1.5. Зонные диаграммы собственных и примесных полупроводников, характерные потенциальные уровни

Разрешенные потенциальные уровни акцепторной и донорной примеси в полупроводниках чаще всего располагаются в ЗЗ. Потенциальные уровни донора располагаются ближе к зоне проводимости. Потенциальные уровни акцепторных примесей располагаются ближе к ВЗ. Поэтому для того, чтобы перейти электрону с уровней донора в зону проводимости, требуется совсем небольшая энергия (рис. 1.11,а) и при комнатной температуре практически все электроны донорной примеси переходят в ЗП, пополняя ее свободными носителями. Для р-полупроводника электроны из валентной зоны переходят на уровни акцепторной примеси (рис. 1.11,в), пополняя ВЗ дополнительными дырками. В собственном полупроводнике (рис. 1.11,б) электрону, чтобы попасть в зону проводимости, приходится преодолевать значительно больший потенциальный барьер (_з), поэтому в собственном полупроводнике электронов в ЗП и дырок в ВЗ значительно меньше, чем у примесных полупроводников, что объясняет их значительно меньшую проводимость.

а б в

Рис. 1.11

Зонная диаграмма полупроводникового материала имеет характерные потенциальные уровни. Это потенциал, характеризующий ширину запрещенной зоны – _з; величина этого потенциала для полупроводников составляет примерно 0,5–3 В. Так, для кремния = 1,11 В, а для германия = 0,76 В. Эта ширина постоянна для выбранного материала, только при постоянной температуре. С изменением температуры ширина ЗЗ меняется, а именно

,

где Т – температура в градусах Кельвина; – ширина ЗЗ при нулевой температуре; – температурная чувствительность (В/С).

Самый высокий энергетический уровень валентной зоны _v носит название энергетического уровня крыши валентной зоны, самый низкий уровень зоны проводимости _с – энергетического уровня дна зоны проводимости. называется уровнем электростатического потенциала, он проходит всегда по середине запрещенной зоны. Одна из основных величин полупроводниковой физики – температурный потенциал _Т может быть найден из равенства выражений энергии движущейся частицы принятой в термодинамике и электротехнике. Энергия элементарных процессов в термодинамике находится как kT, где k – постоянная Больцмана (1,3710^-23 Дж/С); T –температура в градусах Кельвина.

В электротехнике энергия может быть найдена как , где – заряд электрона;  – разность потенциалов, которая обозначается как _Т. Тогда , отсюда температурный потенциал . При комнатной температуре (Т = 293 К) _Т  0,025 В.

Не менее важным в физике полупроводников является потенциал уровня Ферми (_F). Этот потенциал характеризует среднюю энергию всех возбужденных атомов внутри кристалла, как бы неоднороден не был этот кристалл. Более подробно об уровне Ферми будет рассказано в последующих лекциях.

Лекция № 2

1.6. Распределение носителей в зонах

Концентрация носителей в ЗП и в ВЗ зависит от плотности потенциальных уровней Р() и от вероятности нахождения электронов на этих уровнях. Как известно из физики,

,

где а – физическая константа, равная , m_эф – эффективная масса электрона или дырки, h – постоянная Планка, равная 6,610^-34 Джс; φ_гр – граничный потенциал зоны проводимости или валентной зоны..

Вероятность нахождения электронов на том или ином уровне согласно распределительному закону Ферми-Дирака может быть определена следующим образом:

,

где φ – потенциал, на котором находится электрон; _Т – температурный потенциал; φ_F – потенциал уровня Ферми или просто уровень Ферми. Это такой потенциал, вероятность нахождения электрона на котором равна 0,5.

Уровень Ферми в большинстве полупроводников находится внутри ЗЗ. Раз это так, то разница (φ – φ_F) >> φ_T, т.к. φ_T  0,025 В, поэтому можно пренебречь единицей и записать .

Вероятность нахождения дырки в ВЗ равна вероятности отсутствия электрона.

.

Поскольку

,

тогда

.

Концентрация электронов в зоне проводимости может быть найдена как интеграл от произведения вероятности нахождения электрона в ЗП F_n() и плотности потенциальных уровней Р_п(). Пределы интегрирования от границы _c до .

.

Множитель 2 означает, что на одном потенциальном уровне может находиться два электрона. Подставив значения Р( – _c) и F_n(), получим

.

Решим интеграл методом замены переменных. Примем , тогда

; ;

;

.

Интеграл от является табличным и равен , тогда

, (1.1)

где – постоянный коэффициент; – эффективная плотность уровней в зоне проводимости.

Вывод 1: концентрация электронов в зоне проводимости зависит от температуры и разницы потенциалов и . Чем выше температура и меньше разница, или что тоже, больше концентрация примеси донора, тем больше электронов в зоне проводимости, и, следовательно, выше электропроводность полупроводника.

Аналогично можно найти концентрацию дырок в валентной зоне

,

или, подставляя значения плотности и вероятности, получим

.

Произведем замену переменных, обозначив через , тогда , , а пределы интегрирования от 0 до +.

, (1.2)

где – постоянный коэффициент; – эффективная плотность уровней в валентной зоне.

Вывод 2: концентрация дырок в валентной зоне зависит от температуры и разнице потенциалов и . Чем выше температура и меньше разница, или что тоже, больше концентрация акцепторной примеси, тем больше дырок в валентной зоне, а, следовательно, выше электропроводность полупроводника.

Для анализа проводимости собственных полупроводников (без примеси) найдем произведение концентраций электронов и дырок. Из формул (1.1) и (1.2)

.

Следовательно, произведение концентраций при постоянной температуре не зависит от , а определяется лишь шириной запрещенной зоны.

Так как в собственных полупроводниках

,

то

.

Отсюда можно сделать вывод, что собственная концентрация определяется лишь шириной запрещенной зоны и сильно зависит от температуры.

Произведение концентраций n и р в любом типе полупроводника есть величина постоянная при постоянной температуре и может быть найдена как

, (1.3)

где – концентрация электронов и дырок в n-полупроводнике; – концентрация электронов и дырок в р-полупроводнике; – концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике.