- •Занятие 1 Кинематика материальной точки.
- •Занятие 2 Уравнения движения материальной точки.
- •Занятие № 3 Функция Лагранжа.
- •Занятие № 4 Уравнения Лагранжа.
- •Занятие № 5 Уравнения Лагранжа и законы сохранения
- •Занятие № 6 Движение в центральном поле
- •Занятие № 7 Распад, столкновение и рассеяние частиц
- •Занятие № 8 Механические колебания
- •Занятие № 9 Кинематика твердого тела
- •Занятие № 10 Моменты инерции
- •Занятие № 11 Динамика твердого тела
- •Занятие № 12 Уравнения Гамильтона
- •Занятие № 13 Скобки Пуассона. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби
Занятие № 4 Уравнения Лагранжа.
К оси однородного цилиндра массой , который может кататься без скольжения по горизонтальной плоскости, прикреплен шарнирно однородный стержень длиной и массой . Составить функцию Лагранжа и дифференциальные уравнения движения системы.
С помощью уравнений Лагранжа найдите ускорение груза массой . Тела и считать однородными цилиндрами равного радиуса и массами и соответственно. Нить невесомая и нерастяжимая; сопротивлением движению пренебречь.
С помощью уравнений Лагранжа найдите ускорение тела . Массы тел и равны и соответственно. Трением пренебречь.
С помощью уравнений Лагранжа найдите ускорение тел. Трением пренебречь.
Клин массой . находится на гладкой горизонтальной поверхности. С клина скатывается без скольжения однородный цилиндр массой . Используя уравнения Лагранжа, найдите ускорение клина.
Занятие № 5 Уравнения Лагранжа и законы сохранения
На одном конце легкой нерастяжимой нити, перекинутой через легкий неподвижный блок, укреплен груз массой . По другому концу нити перемещается обезьяна массой по закону относительно нити. Найти функцию Лагранжа системы и закон движения обезьяны относительно Земли. Сопротивлением движению пренебречь.
Частица массой движется по гладкой кривой . Ось горизонтальна, ось образует угол с вертикалью. Найти функцию Лагранжа и интеграл энергии частицы.
Частица массой движется в однородном поле тяжести по циклоиде: , . Ось направлена вертикально вверх. Найти функцию Лагранжа, первый интеграл и закон движения.
Два шарика с массами и , соединенные легкой пружиной с жесткостью и длиной в ненапряженном состоянии, движутся по гладкой горизонтальной прямой. Найти лагранжиан и интегралы движения.
Частица массой движется по гладкой поверхности конуса с углом при вершине. Ось конуса вертикальна. Найти функцию Лагранжа, первые интегралы и закон движения частицы.
Занятие № 6 Движение в центральном поле
Найти время свободного падения тела на Солнце с расстояния, равного радиусу орбиты Земли.
В поле тяготения Солнца движется комета с периодом обращения . В перигелии расстояние от Солнца до кометы равно . Найти расстояние от Солнца до афелия орбиты кометы, зная период обращения Земли вокруг Солнца и значение большой полуоси орбиты Земли.
Спутник Луны двигался по круговой орбите с радиусом и после кратковременного торможения перешел на эллиптическую орбиту, касательную к лунной поверхности. Найти время его падения на Луну.
Найти зависимость полной механической энергии планеты массой от большой полуоси ее эллиптической орбиты вокруг Солнца.
Известны параметр и эксцентриситет орбиты частицы, движущейся в центральном поле притяжения кулоновского типа. Найти скорость частицы как функцию расстояния от центра поля.