2. Відстань від точки до прямої

Відстань від точки до прямої (рис. 6) можна обчислити за формулою

.

З ауважимо, що знак виразу є однаковим для всіх точок, що лежать в одній півплощині відносно прямої.

3. Поділ відрізка в даному відношенні

Нехай точка ділить відрізок (де , ) так, що .

Координати точки можна знайти за формулою

.

Зокрема, при маємо координати середини відрізка

.

§3 Приклади і вправи

Вправа 1.1. Записати рівняння прямої, яка проходить через точки та .

Розв’язання.

Скористаємось рівнянням . Одержимо канонічне рівняння прямої

або рівносильне йому загальне рівняння .

Вправа 1.2. Записати рівняння прямої , що проходить через точку паралельно до даної прямої.

Розв’язання.

1) Нехай пряму задано загальним рівнянням і . Нормальний вектор прямої знаходимо з її загального рівняння . Оскільки пряма , то її нормальний вектор . Нехай . Тоді, скориставшись рівнянням , одержимо

або .

2) Нехай маємо точку і пряму, яку задано канонічним рівнянням або параметричними рівняннями .

Пряма ||, тоді її напрямний вектор . Нехай . Тоді, скориставшись рівняннями , одержимо

або .

3) Нехай маємо точку і пряму, яку задано рівнянням з кутовим коефіцієнтом .

Оскільки пряма ||, то їх кутові коефіцієнти рівні, тобто . Скориставшись рівнянням , маємо

або .

Вправа 1.3. Записати рівняння прямої , яка проходить через точку перпендикулярно до даної прямої.

Розв’язання.

1) Нехай пряму задано загальним рівнянням і . Нормальний вектор прямої знаходимо з її загального рівняння . Оскільки пряма , то її напрямний вектор , нехай . Тоді, скориставшись рівнянням , одержимо

або .

2) Нехай маємо точку і пряму, яку задано канонічним рівнянням .

Оскільки , то її нормальний вектор , де - напрямний вектор прямої . Візьмемо і, скориставшись рівнянням , одержимо

або .

3) Нехай маємо точку і пряму, яку задано рівнянням з кутовим коефіцієнтом .

Оскільки , то кутові коефіцієнти цих прямих задовольняють рівність . Враховуюче те, що , отримаємо . Скориставшись рівнянням , маємо

або .

Вправа 1.4. Знайти координати точки перетину двох прямих.

1) Нехай прямі задано загальними рівняннями і .

Розв’язання.

Прямі перетинаються, тоді і тільки тоді, якщо їх нормальні вектори не є паралельними. В даному випадку і . Отже, . Оскільки точка перетину прямих належить і прямий і прямий , то її координати задовольняють рівняння обох прямих, тобто є розв’язком системи рівнянь Розв’язавши систему, одержимо і .

Отже, прямі і перетинаються в точці .

2) Пряма задана параметричними рівняннями, а пряма - загальним.

Розв’язання.

Підставивши координати поточної точки прямої в загальне рівняння прямої , з’ясуємо, при якому значенні параметра точка, що належить прямій , лежить також на прямій . Маємо . Звідки . Підставивши значення параметра в рівняння прямої , одержимо .

Отже, прямі і перетинаються в точці .

Вправа 1.5. Знайти кут між двома прямими.

1) Нехай прямі задано загальними рівняннями .

Розв’язання.

Запишемо нормальні вектори заданих прямих .За формулоюзнайдемо .

Тоді .

2) Нехай прямі задано рівняннями з кутовими коефіцієнтами .

Розв’язання.

Запишемо кутові коефіцієнти заданих прямих . За формулою маємо . Тоді .

Вправа 1.6. Знайти відстань від точки до прямої .

Розв’язання.

За формулою маємо . Отже, відстань від точки до прямої дорівнює .

Вправа 1.7. Знайти площу трикутника, який відтинає від координатного кута пряма .

Розв’язання.

Запишемо для заданої прямої рівняння "у відрізках"

.

Як бачимо, пряма відтинає від другого координатного кута прямокутний трикутник з катетами та . Його площу обчислимо за формулою , тоді

Вправа 1.8. Знайти 1) проекцію точки на пряму, яка проходить через точки , 2) точку, симетричну точці відносно цієї прямої.

Розв’язання.

1 ) Запишемо рівняння прямої . Скориставшись рівнянням , одержимо або .

Запишемо тепер рівняння прямої , що проходить через точку перпендикулярно прямій . . За формулою маємо або .

Знайдемо проекцію точки на пряму як точку перетину прямих та . Позначимо її через (рис.7). Розв’язавши систему рівнянь

одержимо .

2) Точку , симетричну точці відносно прямої ,знайдемо, враховуючи те, що є серединою відрізка . Отже її координати дорівнюють середньому арифметичному координат кінців відрізка. Тобто . Тоді .

Таким чином, .

Вправа 1.9. Дано: .

1. Записати рівняння його сторін.

2. Записати рівняння висоти опущеної з вершини на сторону . Знайти довжину цієї висоти.

3. Записати рівняння медіани, проведеної з вершини на сторону .

4. Записати рівняння бісектриси внутрішнього кута при вершині .

Розв’язання.

1. Рівняння сторін запишемо, скориставшись рівнянням ,

або ;

або ;

або .

2. Опустимо перпендикуляр з точки на сторону . , . За формулою одержимо

або .

Основу цього перпендикуляра позначимо через . Довжину висоти знайдемо як відстань від точки до прямої . За формулою маємо

.

3. Нехай - медіана, тоді точка - середина відрізка . За формулами одержимо або . Запишемо рівняння медіани , скориставшись формулою ,

або .

4 . Відомо, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки пропорційні прилеглим сторонам. Отже, якщо точка - точка перетину бісектриси зі стороною (рис.8), то .

Знайдемо довжини сторін та .

, .

Тоді . Отже, . Застосувавши формулу при , одержимо

або .

Користуючись рівнянням , запишемо рівняння бісектриси

або .

Вправа 1.10. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку під кутом до прямої .

Розв’язання.

Як бачимо на рисунку 9, існують 2 прямі і , що проходять через точку під кутом до прямої .

Я кщо позначити через - кутовий коефіцієнт прямої , то за формулою одержимо .

Запишемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом . Тоді . З рівнянь знаходимо: і . Застосувавши формулу маємо

або ,

або .

Вправа 1.11. Задано дві вершини трикутника , і точка перетину його висот . Знайти координати третьої вершини .

Розв’язання.

Оскільки пряма - це висота, проведена до сторони (рис.10), то , тобто - нормальний вектор прямої . За формулою одержимо або .

Аналогічно складаємо рівняння сторони за точкою та нормальним вектором . або .

Знайдемо третю вершину як точку перетину прямих та .

або . Отже .

Вправи для самостійного розв’язування.

1.12. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку і точку перетину прямих та

1.13. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку

а) паралельно прямій : б) перпендикулярно прямій .

1.14. Знайти кут між прямими

а); б) ;

в); г) .

1.15. Знайти відстань між двома паралельними прямими та .

1.16. Задано рівняння двох сторін паралелограма та і точка перетину його діагоналей . Записати рівняння двох інших сторін.

1.17. Задано рівняння двох висот трикутника та координати однієї з його вершин . Записати рівняння сторін цього трикутника.

1.18. Задано дві вершини трикутника і , рівняння сторони та медіани . Записати рівняння висоти, опущеної з вершини на сторону та обчислити її довжину.

1.19. Між пунктами і проходить шосейна дорога. На плані місцевості ці пункти мають координати (розміри в км). Завод, що в цій же системі координат позначено точкою , треба з’єднати найкоротшим шляхом з цим шосе. Знайти на шосе точку входження в нього дороги і довжину дороги.