Вправи для самостійного розв’язування

Вправа 2.5. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетричні відносно початку координат, якщо

а) його велика вісь дорівнює 20, а відстань між фокусами 24;

б) відстань між фокусами дорівнює 8, а ексцентриситет 0,8.

Вправа 2.6. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі ординат, симетричні відносно початку координат, якщо

а) асимптоти задані рівняннями , а фокуси знаходяться на відстані від центру;

б) гіпербола має спільні фокуси з еліпсом , а її ексцентриситет .

Вправа 2.7. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, якщо

а) парабола симетрична відносно осі абсцис і проходить через точку ;

б) парабола симетрична відносно осі ординат, директриса задана рівнянням .

Вправа 2.8. Визначити, яку лінію задає рівняння. Зобразити її на рисунку.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) ;

з) ; и) ; і) .

Вправа 2.9. Земля рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Найменша відстань від Землі до Сонця приблизно дорівнює мільйона кілометрів, а найбільша - мільйона кілометрів. Знайти більшу піввісь та ексцентриситет орбіти Землі.

Вправа 2.10. Дзеркальна поверхня прожектора утворена обертанням параболи навколо її осі симетрії. Діаметр дзеркала , глибина . На якій відстані від вершини параболи, що є осьовим перерізом цієї поверхні, знаходиться її фокус? Відомо, що розмістивши у фокусі джерело світла, отримаємо жмуток паралельних променів.

Розділ 3. Пряма лінія і площина у просторі

§1 Різні види рівняння прямої лінії і площини у просторі

1. Різні форми рівняння площини

1. Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно векторові ( його називають нормальним вектором площини)

.

2. Розкривши дужки у рівнянні , отримаємо загальне рівняння площини

.

3. Рівняння площини, яка проходить через 3 задані точки , ,

.

4. Рівняння площини, яка проходить через точки , , , або рівняння «у відрізках»

.

2. Різні форми рівняння прямої у просторі

1. Загальне рівняння. Пряму задають, як лінію перетину двох площин

2. Канонічні рівняння – це рівняння прямої, що проходить через точку

паралельно векторові ( його називають напрямним вектором прямої)

.

3. Якщо в рівняннях позначити через коефіцієнт пропорційності, що дорівнює кожному з відношень, то вони будуть еквівалентні трьом рівнянням

.

4. Рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки ,

.

§ 2 Основні формули

1. Кут між двома площинами

Один з лінійних кутів між площинами та дорівнює куту між їх нормальними векторами та . Тому .

2. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності

Кут між двома прямими та визначається як кут між їх напрямними векторами та за формулою

Умовою паралельності прямих є колінеарність їх напрямних векторів

.

Умовою перпендикулярності прямих є ортогональність їх напрямних векторів

.

3. Кут між прямою та площиною. Умови паралельності і перпендикулярності

Кут між прямою та площиною визначається за формулою .

Умовою паралельності прямої і площини є ортогональність напрямного вектора прямої і нормального вектора площини

.

Умовою перпендикулярності прямої і площини є колінеарність напрямного вектора прямої і нормального вектора площини

.

4. Відстань від точки до площини

Відстань від точки до площини обчислюється за формулою

.