3. Гомоморфизмы групп

Определение 1. Гомоморфизмом, или гомоморфным отображением группы G в группу G^/ , которые удовлетворяют условию

(4)

Если группа G и G^/ аддитивные, то условие гомоморфизма (4) записывается так:

Пример 1. Пусть S_n – симметрическая группа n-й степени и G={1,-1} – мультипликативная группа, состоящая из чисел 1 и -1. Рассмотрим отношение группы S_n на G, которое задается так: для каждой подстановки A S_n если А – четная подстановка, если А – нечетная подстановка.

Очевидно, что – отображение группы S_n на группу G, причем выполняется условие . Значит гомоморфизм группы S_n на группу G .

Пример 2. Пусть – группа невырожденных матриц порядка n над полем действительных чисел R; – мультипликативная группа отличных от нуля действительных чисел. Пусть ψ – отображение в группе , которое каждой матрице А ставит в соответствие ее определитель . Для произвольного числа существует такая матрица

, что .

Следовательно, ψ –однозначное отображение группы R_n на группу R^*. А так как , то ψ – гомоморфизме на .

Пример 3. Пусть G – некоторая группа, Н – любой ее нормальный делитель. Пусть χ– отображение, которое каждому элементу g G ставит в соответствии смежный класс gH группы G по нормальному делителю Н, в котором содержится этот элемент. Очевидно, что χ является отображение группы G на фактор – группу G/H: следует, что

.

Следовательно, χ – гомоморфное отображение G на G/H. Этот гомоморфизм χ называется естественным или каноническим гомоморфизмом группы G на фактор – группу G/H.

Докажем несколько теорем, которые характеризуют гомоморфные отображения групп.

Теорема 7. При гомоморфном отображении φ группы G в группу G^/ единичный элемент е группы G отображается в единичный элемент е^/ группы G^/.

□ Из равенства ее=е следует, что С другой стороны, Следовательно, , а отсюда ■

Теорема 8. Если φ – гомоморфизм группы G на группу G^/, то

□ Действительно, . Отсюда .■

Теорема 9. Если φ является гомоморфизмом группы G в группу G^/. То φ(G) является подгруппой группы G^/.

□ Пусть a^/ и b^/ – любые элементы из множества G^/. Тогда где и ■

Определение 2. Пусть φ является гомоморфным отображением группы G в группу G^/. Следовательно К всех элементов группы G, которые при гомоморфизме φ отображаются в единицу е^/ группы G, называется ядром гомоморфизма и записывается .

Теорема 10. Ядро всякого гомоморфизма φ группы G является нормальным делителем группы G.

□ Если , то , так как , если , т.е. , то и , ибо . Следовательно, является подгруппой группы G^/. Пусть теперь а – произвольный элемент ядра , a g – любой элемент группы G.

Тогда . Т.о., подгруппа вместе с произвольным своим элементом а содержит и все элементы, сопряженные с ним в группе G, и поэтому является нормальным делителем группы G. ■

Пример 1. Пусть χ – естественный гомоморфизм произвольной группы G на некоторую ее фактор – группу G/H то нормальному делителю Н. Тогда .

Теорема 11. (Теорема о гомоморфизмах групп)

Пусть φ является гомоморфизмом группы G на группу G^/ и . Тогда группа G^/ изоморфна фактор – группе G/H , причем существует такой изоморфизм ψ фактор – группы G/H на группу G^/, что произведение χψ естественного гомоморфизма на изоморфизм ψ является гомоморфизмом φ.

□ Пусть g^/ – произвольный элемент группы G^/, а g такой элемент группы G, что . Т.к. Н – ядро гомоморфизма φ, то поэтому , т.е. каждый элемент смежного класса при гомоморфизме φ отображается в g^/. C другой стороны, если при гомоморфизме φ отображается в , т.е. , то поэтому , т.е. , где . Отсюда . Т.о., множество всех элементов группы G, которые при гомоморфизме φ отображаются в элемент , составляет смежный класс .

Обозначим ψ отображение, которое каждому смежному классу ставит в соответствие элемент , который при гомоморфизме φ отображаются элементы класса , т.е. Очевидно, что ψ является отображением фактор – группы G/H на группу G^/. Покажем, что ψ является изоморфным отображением. Пусть и – произвольные элементы из G/H. Имеем Значит, ψ ψ ψ .

Кроме того, отображение ψ взаимно однозначное, т.е.

ψ ψ , т.к.

ψ ψ .

Рассмотрим теперь отображение χψ. Поскольку χ – естественный гомоморфизм группы G на фактор – группу G/H, а ψ – изоморфизм G/H на G^/, то χφ – отображение G на G^/. Докажем, что χψ=φ. Пусть g произвольный элемент из G. По определению естественного гомоморфизма χ, и, по определению изоморфизма ψ, ψ . Значит, χψ(g)=ψ ψ , т.е. χψ . А это означает, что χψ=φ.■

Изоморфизмы группы с алгебраической точки зрения, т.е. с точки зрения их свойств, являющихся следствием определенных в них алгебраических операций, а не индивидуальных свойств их элементов, неразличимы.

Следовательно, теорема 11 показывает, что все группы, на которые может гомоморфно отображается группа G, фактически исчерпываются ее фактор – группами, а все гомоморфизмы группы G исчерпываются естественными гомоморфизмами на ее фактор – группы.