- •Алгебра
- •График учебного процесса
- •III семестр
- •IV семестр
- •1. Цели и задачи дисциплины, место в учебном процессе, требования к уровню содержания дисциплины.
- •2. Технологическая карта дисциплины
- •3. Содержание дисциплины
- •Самостоятельная работа (темы , выносимые на срс и методическая поддержка срс)
- •Литература для самостоятельной работы
- •4. Организация текущего и промежуточного контроля знаний
- •5. Методические рекомендации преподавателю
- •6. Работа с ресурсами Internet
- •7. Материальное обеспечение дисциплины
- •8. Методическое обеспечение дисциплины:
- •Глоссарий
- •Вопросы, выносимые на экзамены
- •III семестр
- •IV семестр
- •Методические рекомендации по организации внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы студентов
- •Контрольно - измерительные материалы
- •III семестр Модуль 1
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Многочлены от одной переменной»
- •IV семестр Модуль 1 Тест по теме «Многочлены над полем рациональных чисел» для межсессионного учета знаний
- •Контрольная работа по теме «Многочлены над полями рациональных, действительных и комплексных чисел»
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Расширения полей и задачи, связанные с этим»
- •Методические указания по подготовке практических занятий
- •Методические рекомендации по выполнению курсовых работ
- •Темы курсовых работ
- •1. Вопросы делимости и решения уравнений в кольце целых чисел.
- •. Программа итоговой государственной аттестации студентов
- •Группы и подгруппы
- •Группа подстановок
- •Подгруппы
- •Циклические группы
- •Разложение группы по подгруппе
- •6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Нормальные делители. Фактор - группы.
- •1. Нормальные делители
- •2. Фактор – группы
- •Гомоморфизмы групп
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Элементарные сведения о кольцах
- •Кольцо с единицей
- •Делители нуля. Область целостности
- •Поле частных
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Гомоморфизмы колец
- •Понятие идеала. Примеры
- •Операции над идеалами
- •Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо
- •Гомоморфизм колец. Теорема о гомоморфизмах
- •Характеристика кольца с единицей
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Делимость в области целостности
- •2. Кольцо главных идеалов
- •Евклидовы кольца.
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Многочлены над полем
- •2. Кольцо многочленов как евклидово кольцо
- •3. Техника деления с остатком. Схема Горнера
- •4. Теорема Безу
- •5. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •6.Наименьшее общее кратное
- •7. Неприводимые многочлены
- •8. Каноническое разложение многочлена
- •9. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Комплексных чисел
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с в произведение линейных множителей
- •5. Разложение многочленов над полем r в произведение неприводимых множителей
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •IV семестр
- •Приводимость и неприводимость многочленов над полем действительных, комплексных и рациональных чисел
- •Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами
- •Понятие алгебраического числа
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с
- •5. Разложение многочленов над полем r
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Алгебраические числа.
- •2. Простое алгебраическое расширение поля.
- •3. Уничтожение иррациональности в знаменателе.
- •4. Конечные расширения полей.
- •6. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы.
- •Лекции 7-8
- •Поле алгебраических чисел
- •Понятие разрешимости в квадратных радикалах
- •Определение 1. Алгебраическое уравнение
- •Связь с расширением числовых полей
- •4. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах.
- •5. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах
- •6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах
- •Задача об удвоении куба
- •Задача о трисекции угла
- •Задача о квадратуре круга
- •7. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах
Поставим вопрос о возможности того или иного геометрического построения с помощью циркуля и линейки. Такой вопрос относится скорее к алгебре многочленов, нежели к геометрии. Впервые это понял, наверное, Гаусс. В 1801 году в работе «Арифметические исследования» он установил связь между построением правильного
n – угольника и решением уравнения в поле комплексных чисел. Он показал, что если , то n-угольник построить можно.
Например, можно с помощью циркуля и линейки построить правильный
5-угольник, так как ;
17-угольник, так как .
В геометрии показывается, что корни уравнения с рациональными коэффициентами могут быть построены с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда это уравнение разрешимо в радикалах, то есть когда решение этого уравнения сводится к решению цепочки квадратных уравнений. Покажем, как доказывается неразрешимость некоторых классических задач на построение циркулем и линейкой.
Задача об удвоении куба
Построить куб, объем которого вдвое больше объема данного куба. Для того, чтобы трактовать эту задачу как задачу на построение на плоскости, нужно понимать её так: на плоскости дан отрезок, равный ребру искомого куба. Итак, пусть дан отрезок – ребро данного куба. Примем этот отрезок за единицу измерения.
Тогда объем данного куба равен .
Объем искомого куба равен 2, значит ребро искомого куба равно . Но число является корнем уравнения .
Значит, длина x ребра искомого куба удовлетворяет условию:
(6). Но это уравнение имеет корни: - комплексные.
То есть, это уравнение не имеет рациональных корней. А, значит, оно неразрешимо в квадратных радикалах. А это значит, что корни уравнения (6) не могут быть построены с помощью циркуля и линейки.
Задача о трисекции угла
Разделить данный угол на три равные части. Очевидно, что существуют углы, которые можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки, например прямой угол. Но эту задачу надо понимать так: требуется указать алгоритм трисекции угла с помощью циркуля и линейки, применимый к любому углу. Пусть угол АОВ равен φ – мера угла в радианах, а угол АОВ – произвольный угол. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Выберем систему координат с центр в точке О и осью ОХ, совпадающий с прямой ОА. Пусть ОА – единичный отрезок, тогда точка А имеет координаты (1,0). Пусть точка К – проекция точки В на ось ОХ, тогда К имеет координаты (cos φ, 0). Пусть теперь точка В1 – такова, что угол АОВ1 = 1/3 угла АОВ, то есть равен φ/3, а К1- проекция точки В1 на ось ОХ. И задача о трисекции угла может пониматься как задача построения точки В1 по точкам А, О, К, так чтобы точка В1 имела координаты (cos φ,0).
Найдем
(cos φ/3 + ί sin φ/3) = cos φ + ί sin φ (по формуле Муавра)
С другой стороны
(cos φ/3 + ί sin φ/3) = cos φ/3 + 3 ί cos φ/3 sin φ/3 - 3 cos φ/3 sin φ/3- – ί sin φ/3 = cos φ/3 ( cos φ/3 - 3 sin φ/3) + ί sin φ/3 ( 3cos φ/3 - -sin φ/3)
А значит:
cos φ = cos φ/3 - 3 cos φ/3 sin φ/3 = cos φ/3 ( cos φ/3 - 3 sin φ/3).
Откуда:
4 cos φ/3 - 3 cos φ/3 - cos φ = 0
А значит cos φ/3 является корнем уравнения
(7)
При φ = π/2 получаем ; уравнение разрешимо в квадратных радикалах.
Если же φ = π/3 то = cos π/3 = 1/2 и получаем уравнение
1/2 = 0 или
1 = 0
Положим в нем y = 2x, получим - оно не имеет рациональных корней. Значит, неразрешимо в квадратных радикалах.
А значит корни невозможно построить с помощью циркуля и линейки. Значит угол π/3 невозможно разделить на три равные части циркулем и линейкой.