Контрольная работа № 6 ИСиТвЭ (1 курс 2 семестр)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ

И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет непрерывного и дистанционного обучения

Специальность: «Информационные системы и технологии в экономике»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 6

Вариант № 5

Шумилова Александра Борисовича Группа № 002322, шифр № 05 Зачетная книжка № 002322-05

Электронный адрес: [e-mail]

1

СОДЕРЖАНИЕ

1.Задача 265…………………………………………………………………..3

2.Задача 275…………………………………………………………………..5

3.Задача 285…………………………………………………………………..6

4.Задача 295……………………………………………………………..…....7

2

1 ЗАДАЧА 265

Условие задачи. Найти неопределенные интегралы (результаты в случаях “а” и “б” проверить дифференцированием).

а)

ò

1 −

2x

dx;

б)

ò

xcos x

dx;

в)

ò

x2

dx; г)

ò

dx

;

д)

1 -

4x2

sin3 x

x4 -

16

x

+

3

x

ò

dx

.

5 + 3cos x

Решение задачи.

а)

1- 4x2 = t

ò

1- 2x

dx = ò

1

dx + ò

- 2x

dx =

1- 4x2 = t2

=

ò

1

dx + ò

t

dt =

- 8xdx =

2tdt

2t

2

1- 4x

2

1-

4x

2

1-

(2x)

2

1-

4x

- 2xdx =

tdt

2

arcsin 2x

arcsin 2x

arcsin 2x

1

1

1- 4x2

=

2

+

ò 2dt

=

2

+

2 t + С =

2

+

+ С

2

Проверим результат интегрирования путем дифференцированием.

arcsin 2x

1- 4x2

¢

1

1

1

1

1

(

+

+ С)

= 2

´

´ 2

+ 2 ´

´

´ (- 8x) =

2

2

2

1- 4x2

1- 4x2

=

1

+

− 2x

=

1− 2x

1- 4x2

1- 4x2

1- 4x2

б)

x cos x

x =

u,dx = du

ò

cos x

cos x

sin x =

t

dt

1

1

sin3 x dx =

ò

ò

=

dv =

sin3 x dx,v =

sin3 x dx =

cos xdx =

dt

=

t3

= -

=

-

2t2

2sin2 x

x ´ (-

1

ò

dx

x

1

´ ò -

dx

x

ctgx

С

=

) -

-

=

-

-

2

=

-

-

2

+

2sin2 x

2sin2 x

2sin2 x

sin2 x

2sin2 x

Проверим результат интегрирования путем дифференцированием.

(-

x

-

ctgx

+

С)¢ =

-

2sin2

x +

x ´

4sin x ´ cos x

-

1

´ (-

1

) =

2sin2 x

2

4sin4 x

2

sin2 x

2sin x(− sin x + 2x cos x) +

1

=

−

sin x +

2x cos x

+

1

=

4sin4 x

2sin2

x

2sin3 x

2sin2 x

=

− sin x +

2x cos x +

sin x

= 2x cos x

=

x cos x

2sin3 x

2sin3 x

sin3 x

3

в) ò

x2

dx = ò

x2

dx =

x4 - 16

(x -

2)(x +

2)(x2 +

4)

x2

=

A

+

B

+

C

(x -

2)(x +

2)(x2 +

4)

(x -

2)

(x +

2)

(x2 +

4)

x2 =

A(x +

2)(x2 +

4) +

B(x -

2)(x2 +

4) + C(x -

2)(x + 2) =

= A(x3 + 2x2 + 4x + 8) + B(x3 - 2x2 + 4x - 8) + C(x2 - 4)

x3 : А + В = 0 Þ А = - В

x2 : 2А - 2В + С = 1Þ - 2В - 2В + С = 1Þ - 4В + С = 1Þ С = 4В + 1

x1 : 4А + 4В = 0 Þ А + В = 0

x0 :8А - 8В - 4С = 0 Þ

- 8В - 8В - 4(4В + 1) =

0 Þ

В =

-

1

; А =

1

;С =

1

8

8

2

ò

x2

dx = ò

1

dx -

ò

1

dx +

ò

1

dx =

x4 - 16

8(x - 2)

8(x +

2)

2(x2 +

4)

1

ln(x -

1

ln(x +

2) + ò

1

d

æ

x ö

1

ln(x - 2) -

1

ln(x

1

2arctg(

x

C

=

2) -

ç

÷ =

+

2) +

´

) +

8

8

æ

x

ö

2

2

8

8

8

2

è

ø

8(1+ ç

÷

)

2

è

ø

г)

dx

x = t6 Þ t3

=

,t2 = 3

,t =

6

6t5dt

t3dt

(t

2

- t + 1-

1

)dt

ò

x

x

x

ò

6ò

= 6ò

t + 1

=

=

=

=

+ 3

dx = 6t5dt

t3 + t2

t + 1

t + 1

x

x

= 6ò (t

2

t + 1-

1

)dt = 6(

t3

t2

t -

ln(t

C

= 2t

3

- 3t

2

6t -

6ln(t + 1) + C =

-

3 -

2 +

+ 1)) +

+

t + 1

=

2

- 33

+

66

-

6ln(6

+ 1) +

C

x

x

x

x

x

dx

tg

= t, x =

2arctgt

2dt

д) ò

=

2

t2

=

ò

=

5 +

3cos x

dx =

2dt

,cos x =

1-

t

2

1-

t2

1+

t2

(1+

)(5 +

3´

t2 )

1+ t2

1+

2dt

2dt

2dt

d(

t

)

ò

= ò

= ò

= 2ò

2

=

2

5 + 5t2 + 3- 3t2

8 + 2t

2

t

2

t

2

(1+ t

)(

)

8(1+ (

)

)

4(1+ (

)

)

1+ t

2

2

2

tg(

x

1 arctg(

t

1 arctg(

)

) +

=

) +

С =

2

C

2

2

2

2

4

2 ЗАДАЧА 275

Условие задачи. Вычислить определенный интеграл. Окончательный результат представить в виде приближенного числа.

1ò 1 +xx4 dx.

0

Решение задачи.

1			x		x2 = t		1			1			1	1	1		1				1				1
																			1			2
ò0							= ò0							ò0
				dx =	2xdx = dtdt							dt =				dt =	2 arctg(t)			=	2 arctg(x		)		0	=
	1+		x4					2(1+			t2 )		2		(1+ t2 )				0
					xdx =	2
=	1		(arctg(1) - arctg(0)) =					1	(	π	- 0) =		π
	2							2		4			8

3 ЗАДАЧА 285

Условие задачи. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

	+ ∞	dx			π
а)	ò			.	б) ò2ctgxdx;
		3
	4	xln	x		0
Решение задачи.
					+ ∞
а)	Подынтегральная				функция ò4	1	dx интегрируема на заданном
						x ln3 x

промежутке [4;+∞), так как является непрерывной функцией.

b

1

dx =

1ln x =

u

=

b

1

du =

lim (-

1

b

=

lim (-

1

b

=

lim

lim

)

)

ò

x ln3 x

ò

u3

2u2

2ln2

x

b→ + ∞

x

dx = du

b→ + ∞

b→ + ∞

4

b→ + ∞

4

4

1

1

4

1

1

1

=

lim (-

+

) = lim (-

+

) =

0 +

» 1,4

2ln2 b

2ln2 4

2ln2 (+ ¥ )

2ln2

4

2ln2 4

b→ + ∞

b→ + ∞

Интеграл сходится.

π

б)

Подынтегральная

функция

ò2 ctgxdx

интегрируема

на

заданном

0

промежутке (0; π

) .

2

π

π

sin x =

u

π

π

π

2 ctgxdx =

2 cos xdx =

2 1du =

lim

lim

=

lim

limln u

2

= limln sin x

2 =

b

→

0

b

b

→

0

b sin x

cos xdx =

du

b

→

0

b u

b

→

0

b

b

→

0

b

ò

ò

ò

=

lim(ln sin

π

-

ln sin 0) = lim(ln1-

ln 0) =

- ¥

b→

0

2

b→ 0

Интеграл расходится.

4	ЗАДАЧА 295
Условие задачи. Вычислить	площадь фигуры,	ограниченной
трехлепестковой розой ρ = 5 sin 3θ.
Решение задачи.

Для вычисления площади фигуры в полярных координатах используем формулу:

S = 12	β
	× ò ρ 2 (θ )dθ .
	α

Общую площадь фигуры найдем как шесть половинок одного лепестка:

π

π

3a2

π

3a2

π

1

× ò6 a2 sin2 (3θ )dθ

ò6 1−

cos(6θ )dθ

ò6

1 sin(6θ ))

S =

6×

=

3a2 ×

=

×

(1− cos(6θ ))dθ

=

× (θ

−

6 =

2

2

0

0

2

2

2

2

0

2

6

0

=

3a

× ((

π

−

1

sin(π ) − (0

−

0)) =

3a

×

π

=

π a

=

25π

кв.ед.

2

6

6

2

6

4

4