Контрольная работа № 2 вариант 2
.docxКонтрольная работа №2
№72
Построить график функции y=f(x) преобразованием графика функции y=sinx
y=-3sin(2x+3)
Решение
Преобразуем функцию к виду:
Y=-3sin(2(x+))
-
Построим график функции y=sinx
-
Построим график функции y=sin2x при помощи сжатия графика y=sinx в 2 раза к оси OY.
-
Построим график функции y=sin(2(x+)) при помощи параллельного переноса графика y=sin2x на единицы влево вдоль оси OX.
-
Построим график функции y=3sin(2x+3) при помощи растяжения графика y=sin(2x+3) в 3 раза от оси OX.
-
-
Построим график функции y=-3sin(2x+3) при помощи симметричного отображения графика функции y=3sin(2x+3) относительно оси OX
№82
Дана функция r=f(φ) на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения φ через промежуток , начиная от φ=0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.
Решение
-
Составим таблицу
y |
0 |
|
|
||||||
r |
1,20 |
1,24 |
1,36 |
1,59 |
2,00 |
2,69 |
3,78 |
5,21 |
6,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||
r |
5,21 |
3,78 |
2,69 |
2,00 |
1,59 |
1,36 |
1,24 |
1,2 |
|
-
Найдем уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, учитывая, что
, rcosφ=x, rsinφ=y
Получим
Приведем уравнение к каноническому виду:
- каноническое уравнение эллипса с полуосями а= и b=, центр которого находится в точке ().
Ответ:
№92
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
А)
Б)
В)
Г)
Решение
а)
Ответ:
б)
Ответ:
в)
Ответ:
г)
так как =e как второй замечательный предел.
Ответ: 4
№102
Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента х1 и х2 требуется 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
f(x)=, x1=2, x2=4.
Решение
Областью определения данной функции является область . Так как функция f(x) является элементарной функцией, то она непрерывна во всех точках области определения. Следовательно, в точке х1=2 функция непрерывна, а точка х2=4 является точкой разрыва, так как деление на ноль не определено.
-
Найдем пределы функции при приближении к точке х2=4 слева и справа:
Следовательно, х2=4 – точка разрыва 2- го рода.
-
Сделаем схематический чертеж, учитывая, что
Ответ: В точке х1=2 функция непрерывна, а точка х2=4 является точкой разрыва 2-го рода.
№112
Задана функцияy=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение
Функция f(x) непрерывна на интервалах (-∞;0), (0;4) и (4;∞), так как задана на этих интервалах непрерывными элементарными функциями. Исследуем на непрерывность точки х=0 и х=4
-
х=0
f(0)=0+1=1
Следовательно х=0 – точка разрыва 1-го рода.
В точке х=0 функция делает скачок:
Δ=1-(-3)=4.
-
х=4
f(4)=4+1=5
Следовательно, в точке х=4 функция непрерывна. Сделаем чертеж:
Ответ: Функция непрерывна на интервалах (-∞;0), (0;+ ∞) ; точка х =0 является точкой разрыва 1-го рода.